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Some notes on Relativity and other arguments
Informazione in un Dynamic Frame - anomalia
<p style="text-align: justify;">In alcune note precedenti abbiamo discusso di come rappresentare un dynamic frame per mezzo di un'insieme di probabilistic-ensembles che determinano una distribuzione di probabilità di cui i subordinate-concepts sono gli outcomes. Nella determinazione di queste proprietà abbiamo utilizzato la tassonomia di Ray del concetto di bird come utile esempio su cui applicare le nostre definizioni. </p> <p style="text-align: justify;">Il dynamic frame di un Bird - seondo questa tassonomia - è costituito da due attributi [beak, foot], ognuno dei quali può assumere due valori. Rappresentiamo tale frame nel modo seguente:</p> <p style="text-align: center;">Bird = {beak:[round, pointed]; foot:[webbed, clawed]}</p> <p style="text-align: justify;">Il frame descrive il superordinate-concept bird a cui corrispondono dei subordinate-concepts, a seconda di quali valori sono considerati. Nel caso della tassonomia di Ray i subordinate-concepts sono solo due, che andiamo qui di seguito ad elencare:</p> <p style="text-align: center;">Water Bird = {beak:round; foot:webbed}</p> <p style="text-align: center;">Land Bird = {beak:pointed, foot:clawed}</p> <p style="text-align: justify;">Inoltre esiste un vincolo che lega l'attributo beak con l'attributo foot, nel senso che quando si presenta il caso di un beak round si ha sempre un valore di foot webbed ed analogamnete quando si ha un beak pointed vi è sempre il caso di un foot clawed.</p> <p style="text-align: justify;">La tassonomia di Ray (1678) entrò in crisi - nel XIX secolo - quando furono scoperti alcuni uccelli che non potevano appartenere ai due subconcetti Water Bird e Land Bird; fra queste anomalie la più significativa è quella individuata dallo 'screamer', un uccello del sudamerica che presenta un becco arrotondato (Water Bird) ma un piede dotato di artigli (Land Bird). Un tale uccello dunque non appartiene nè ad un Water Bird e neppure ad un Land Bird. Obbiettivo di questa nota è capire come l'informazione di un dynamic frame possa tenere conto di tali anomalie.</p> <p style="text-align: justify;">L'anomalia dello screamer vanifica il vincolo esistente fra i due attributi, o meglio, lo rende meno rigido; come avevamo indicato nelle note precedenti il vincolo fra due attributi portava a certe conditional probabilities che determinavano poi la distribuzione statistica dell'intero frame; inoltre, nel caso della tassonomia di Ray, le conditional probabilities erano deterministiche in quanto assegnavano probabilità pari a 1 quando si verificava un certo valore di un attributo. Per tenere conto dell'anomalia riscontrata dovremo modificare queste probabilità rendendo la struttura meno deterministica. Valgono dunque le seguenti conditional probabilities:</p> <p style="text-align: center;"><img title="P(foot=webbed | beak=round)= 0.9" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?P(foot=webbed&space;|&space;beak=round)=&space;0.9" /><img title="P(foot=clawed| beak=pointed)= 1.0" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?P(foot=clawed|&space;beak=pointed)=&space;1.0" /></p> <p style="text-align: justify;">Abbiamo dunque inserito un valore di 0.9 per la probabilità condizionata che quando il beak è round il foot è webbed (la scelta del valore sta a indicare che nella maggior parte dei casi si ha questa combinazione di valori, ma non sempre). Si noti che l'altra probabilità condizionata non è stata modificata. Un discorso analogo vale anche per le altre due relazioni:</p> <p style="text-align: center;"><img title="P(foot=webbed | beak=pointed)= 0.1" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?P(foot=webbed&space;|&space;beak=pointed)=&space;0.1" /><img title="P(foot=calwed | beak=round)= 0.0" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?P(foot=calwed&space;|&space;beak=round)=&space;0.0" /></p> <p style="text-align: justify;">Tenendo conto della regola fondamentale del calcolo probabilistico:</p> <p style="text-align: center;"><img title="P(X,Y)=P(X|Y)*P(Y)" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?P(X,Y)=P(X|Y)*P(Y)" /></p> <p style="text-align: justify;">possiamo determinare la distribuzione di probabilità del dynamic frame:</p> <p style="text-align: justify;"><img title="P(beak=round, foot=webbed)=P(beak=round | foot=webbed)*P(foot=webbed)= 0.9*0.5 = 0.45" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?P(beak=round,&space;foot=webbed)=P(beak=round&space;|&space;foot=webbed)*P(foot=webbed)=&space;0.9*0.5&space;=&space;0.45" /></p> <p style="text-align: justify;"><img title="P(beak=round, foot=clawed)=P(beak=round | foot=clawed)*P(foot=clawed)= 0.0*0.5 = 0.0" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?P(beak=round,&space;foot=clawed)=P(beak=round&space;|&space;foot=clawed)*P(foot=clawed)=&space;0.0*0.5&space;=&space;0.0" /></p> <p style="text-align: justify;"><img title="P(beak=pointed, foot=clawed)=P(beak=pointed | foot=clawed)*P(foot=clawed)=1.0*0.5=0.5" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?P(beak=pointed,&space;foot=clawed)=P(beak=pointed&space;|&space;foot=clawed)*P(foot=clawed)=1.0*0.5=0.5" /><img title="P(beak=pointed, foot=webbed)=P(beak=pointed | foot=webbed)*P(foot=webbed)=0.1*0.5=0.05" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?P(beak=pointed,&space;foot=webbed)=P(beak=pointed&space;|&space;foot=webbed)*P(foot=webbed)=0.1*0.5=0.05" /></p> <p style="text-align: justify;"> La distribuzione di probabilità è inoltre simmetrica scambiando le due variabili statistiche:</p> <p style="text-align: center;">P(X,Y) = P(Y,X)</p> <p style="text-align: justify;">Veniamo ora a calcolare la quantità di informazione dell'intero dynamic frame, utilizzando la formula:</p> <p style="text-align: center;"><img title="H(X,Y)=\sum _{x\in A_x , y\in A_y}p(x,y) log_2\frac{1}{p(x,y)}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?H(X,Y)=\sum&space;_{x\in&space;A_x&space;,&space;y\in&space;A_y}p(x,y)&space;log_2\frac{1}{p(x,y)}" /></p> <p style="text-align: justify;">che ci porta ad avere:</p> <p style="text-align: justify;"><img title="H(beak, foot)= 0.45*log_2\frac{1}{0.45}+0.5*log_2\frac{1}{0.5}+0.05*log_2\frac{1}{0.05}= 0.45*1.15+0.5*1.0+0.05*4.32=0.51+0.5+0.216=1.22" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?H(beak,&space;foot)=&space;0.45*log_2\frac{1}{0.45}+0.5*log_2\frac{1}{0.5}+0.05*log_2\frac{1}{0.05}=&space;0.45*1.15+0.5*1.0+0.05*4.32=0.51+0.5+0.216=1.22" /></p> <p style="text-align: justify;">E' necessario dunque una quantità di 1.22 bit per determinare il dynamic frame. Si noti che è una qunatità di informazione maggiore rispetto a quella della tassonomia di Ray classica. </p> <p style="text-align: justify;">Infine possiamo calcolare la quantità di informazione associata agli outcomes del dynamic frame (i subordinate concept) utilizzando la formula:</p> <p style="text-align: center;"><img title="h(x,y)=log_2\frac{1}{p(x,y)}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?h(x,y)=log_2\frac{1}{p(x,y)}" /></p> <p style="text-align: justify;">che ci porta ad avere nel caso del water-bird:</p> <p style="text-align: center;"><img title="h(beak=round, foot=webbed)=log_2\frac{1}{p(beak=round, foot=webbed)}=log_2\frac{1}{0.45}=1.15" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?h(beak=round,&space;foot=webbed)=log_2\frac{1}{p(beak=round,&space;foot=webbed)}=log_2\frac{1}{0.45}=1.15" /></p> <p style="text-align: justify;">mentre nel caso dello screamer abbiamo:</p> <p style="text-align: justify;"><img title="h(beak=pointed, foot=webbed)=log_2\frac{1}{p(beak=pointed, foot=webbed)}=log_2\frac{1}{0.05}=4.32" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?h(beak=pointed,&space;foot=webbed)=log_2\frac{1}{p(beak=pointed,&space;foot=webbed)}=log_2\frac{1}{0.05}=4.32" /></p> <p style="text-align: justify;">Se valutiamo la quantità di informazione come 'sorpresa', abbiamo che il caso dello screamer è molto più sorprendente del caso del generico water-bird.</p>
Some notes on Relativity and other arguments