Vielbein - Relativity and other

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Le Condizioni di Giunzione della metrica in Relativita Generale

In questa nota prenderemo in considerazione le 'Junction Condizions' della metrica&nbsp;su una superficie di discontinuit&agrave;; queste condizioni sono state formulate in differenti modalit&agrave; nei primi anno del 900 e da differenti autori.&nbsp;
Le tre principali condizioni sono qui elencate e sono state recuperate dall'articolo di Bonnor-Vickers del 1981 ("Junction Conditions in General Relativity").
Siano&nbsp;<img title="V" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?V" /> e&nbsp;<img title="\overline{V}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\overline{V}" />&nbsp;due regioni di spazio-tempo separate da una superficie&nbsp;<img title="S" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?S" />. Si suppone che i coefficienti della metrica&nbsp;<img title="g_{ik}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_{ik}" />&nbsp;siano di classe&nbsp;<img title="C^3" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?C^3" />&nbsp;ovunque ecetto che sulla superficie&nbsp;<img title="S" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?S" />.
Condizioni di Darmois: siano&nbsp;<img title="x^i" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?x^i" />e&nbsp;<img title="\overline{x}\,^i" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\overline{x}\,^i" />&nbsp;le coordinate in&nbsp;<img title="V" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?V" />&nbsp;e&nbsp;<img title="\overline{V}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\overline{V}" />&nbsp;e&nbsp;<img title="g_{ik}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_{ik}" />&nbsp;,&nbsp;<img title="\overline{g_{ik}}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\overline{g_{ik}}" />&nbsp;le metriche corrispondenti. La superficie&nbsp;<img title="S" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?S" />&nbsp;sia rappresentata in&nbsp;<img title="V" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?V" />&nbsp;e&nbsp;<img title="\overline{V}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\overline{V}" />&nbsp;dalle equazioni:
<img title="f(x^i) \: \; in \: \;V, \: \; f(\overline{x}^i) \: \;in \: \; \overline{V}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x^i)&amp;space;\:&amp;space;\;&amp;space;in&amp;space;\:&amp;space;\;V,&amp;space;\:&amp;space;\;&amp;space;f(\overline{x}^i)&amp;space;\:&amp;space;\;in&amp;space;\:&amp;space;\;&amp;space;\overline{V}" />
di classe&nbsp;<img title="C^2" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?C^2" />. Sono necessari anche i vettori normali che sono definiti come:
<img title="n_i = f_{,i}(g^{ab}f_{,a}f_{,b})^{1/2}\: \; in \: \; V" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?n_i&amp;space;=&amp;space;f_{,i}(g^{ab}f_{,a}f_{,b})^{1/2}\:&amp;space;\;&amp;space;in&amp;space;\:&amp;space;\;&amp;space;V" />
<img title="\overline{n}_i = \overline{f}_{,i}(\overline{g}\;^{ab}\:\overline{f}\:_{,a}\:\overline{f}\:_{,b})^{1/2}\: \; in \: \; \overline{V}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\overline{n}_i&amp;space;=&amp;space;\overline{f}_{,i}(\overline{g}\;^{ab}\:\overline{f}\:_{,a}\:\overline{f}\:_{,b})^{1/2}\:&amp;space;\;&amp;space;in&amp;space;\:&amp;space;\;&amp;space;\overline{V}" />
dove ,i significa&nbsp;<img title="\frac{\partial }{\partial x_i}\;\; o\;\;\frac{\partial }{\partial \overline{x}_i}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{\partial&amp;space;}{\partial&amp;space;x_i}\;\;&amp;space;o\;\;\frac{\partial&amp;space;}{\partial&amp;space;\overline{x}_i}" />. Richiediamo ancora la presenza delle due rapresentazioni parametriche della superficie&nbsp;<img title="S" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?S" />&nbsp;
<img title="x^i = g^i(u^1,u^2,u^3)\;\; in \; V, \;\; \overline{x}^i= \overline{g}^i(u^1,u^2,u^3) \;\; in \; \overline{V}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?x^i&amp;space;=&amp;space;g^i(u^1,u^2,u^3)\;\;&amp;space;in&amp;space;\;&amp;space;V,&amp;space;\;\;&amp;space;\overline{x}^i=&amp;space;\overline{g}^i(u^1,u^2,u^3)&amp;space;\;\;&amp;space;in&amp;space;\;&amp;space;\overline{V}" />
dove&nbsp;<img title="g^i" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?g^i" />&nbsp;e&nbsp;<img title="\overline{g}^i" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\overline{g}^i" />&nbsp;sono funzioni di classe&nbsp;<img title="C^3" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?C^3" />.
In&nbsp;questo formalismo si dice che le due variet&agrave;&nbsp;<img title="V" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?V" />e<img title="\overline{V}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\overline{V}" />&nbsp;si 'saldano' correntamente in&nbsp;<img title="S" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?S" />&nbsp;se la prima e la seconda forma fondamentale (la metrica e la curvatura esterna) calcolate come funzioni di&nbsp;<img title="u^\alpha=(u^1, u^2, u^3)" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?u^\alpha=(u^1,&amp;space;u^2,&amp;space;u^3)" />&nbsp;per mezzo di&nbsp;<img title="g_{ik}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_{ik}" />&nbsp;e&nbsp;<img title="\overline{g}_{ik}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\overline{g}_{ik}" />&nbsp;sono identiche.
Condizioni di Lichnerovitz: le due variet&agrave;&nbsp;&nbsp;<img title="V" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?V" />&nbsp;e&nbsp;<img title="\overline{V}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\overline{V}" />&nbsp;si saldano correttamente in&nbsp;<img title="S" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?S" />&nbsp;se per ogni punto P di&nbsp;<img title="S" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?S" />&nbsp;esiste un sistema di coordinate il cui dominio contenga P e per cui le componenti della metrica e le sue derivate prime sono continue attraverso&nbsp;<img title="S" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?S" />. Tali coordinate si chiamano 'ammissibili'.
Condizioni di O'Brien Synge: le coordinate siano scelte in modo tale che la superficie&nbsp;<img title="S" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?S" />&nbsp;sia rappresentata dall'equazione&nbsp;<img title="x^4 = const" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?x^4&amp;space;=&amp;space;const" />&nbsp;allora&nbsp;le due variet&agrave;&nbsp;&nbsp;<img title="V" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?V" />&nbsp;e&nbsp;<img title="\overline{V}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\overline{V}" />&nbsp;si saldano correttamente in&nbsp;<img title="S" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?S" />&nbsp;se:
<img title="g_{ik}\;\;,\;\;\frac{\partial g_{\mu\nu }}{\partial x^4}\;\;,\;\;T^4_k" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_{ik}\;\;,\;\;\frac{\partial&amp;space;g_{\mu\nu&amp;space;}}{\partial&amp;space;x^4}\;\;,\;\;T^4_k" />
sono continue attraverso&nbsp;<img title="S" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?S" />, essendo&nbsp;<img title="T^i_k" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?T^i_k" />&nbsp;il tensore Energia Impulso.
Bonnor, Vickers dimostrano che:
"D [le conzioni di Darmois] and L [le condizioni di Lichnerovits] are evidently somewhat similar, and in both cases arose from a mathematical approach based on differentiability classes of the metric coefficients&nbsp;<img title="g_{ik}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_{ik}" />. The method of O [le condizionid di O'Brien-Synge] was quite different, relying on considerations of a hypothetical boundary layer whose thickness was allowed to tend to zero similar to that sometimes used in electromagnetism."
Si noti a tal proposito che nell'articolo di O'Brien-Synge si parte proprio da una considerazione sulla continuit&agrave; del potenziale nella Fisica Classica. In aggiunta si consideri anche che l'approccio di O'Brien-Synge prende in consideraizone le componenti del Tensore Energia-Impulso, mentre le altre due condizioni (D e L) impongono propriet&agrave; solo sul tensore metrico e sulle sue derivate, tralasciando il contenuto fisico delle equazioni di Einstein.