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Assiomatizzazione della meccanica e il modello dell oscillatore armonico lineare

Questa nota nasce dalla lettura del capitolo 7 del libro di Suppes del 2002 "Representation and Invariance of Scientific Structures" che tratta dell'assiomatizzazione della Meccanica Classica. Non tratteremo tale argomento nei dettagli, ma metteremo in risalto le strutture concettuali necessarie per poi presentare il modello dell'Oscillatore Armonico Lineare.
IL primo passo per assiomatizzare la Meccanica &egrave; quello di avere a disposizione le adeguate strutture matematiche. In primo luogo &egrave; necessario avere la nozione di spazio vettoriale in quanto ad esempio i concetti di velocit&agrave;, forza ecc.. implicano una direzione e quindi dei vettori.
Uno spazio vettoriale &egrave;&nbsp;una struttura (V,+,*,&nbsp;0), dove V &egrave; un insieme non nullo, + &egrave; un'operazione binaria su V (la somma vettoriale), * &egrave;&nbsp;una funzione RxV-&gt;V che prende un numero reale, un elemento di V e gli associa ancora un elemento di V (la moltiplicazione di un vettore per un numero reale fornisce ancora un vettore),&nbsp;0 &egrave; l'elemento nullo in V. Il modello classico di spazio vettoriale per la meccanica &egrave; lo spazio Euclideo&nbsp;<img title="\mathbb{R}^3" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{R}^3" />&nbsp;in cui un vettore &egrave; rappresentato da 3 numeri reali rispetto ad un sistema di riferimento. E' importante sottolineare il fatto che lo spazio euclideo &egrave; un 'modello' di uno spazio vettoriale, che rappresenta dunque una struttura pi&ugrave; astratta.
Uno spazio vettoriale pu&ograve; essere dotato di operazioni fra vettori (prodotto interno, prodotto esterno) che ne stabiliscono una metrica, cio&egrave; una funzione distanza che individua - come dice la parola stessa - una distanza fra vettori.
Nella Meccanica una nozione fondamentale &egrave; quella di posizione di una particella e questo ci porta a definire cosa sia uno spazio affine ed in particolare uno spazio affine reale. Supponiamo di avere un insieme non vuoto A di elementi che chiamiamo punti e vogliamo associargli una struttura affine. E' necessario utilizzare uno spazio vettoriale reale e introdurre una funzione&nbsp;il cui campo di esistenza sia VxA--&gt;A, cio&egrave; che prenda un vettore di V, un punto di A e determini ancora un punto di A. Il modello di spazio affine per la Meccanica Classica &egrave; ancora lo spazio Euclideo, perch&egrave; prendendo un punto qualunque dello spazio ed un vettore sempre di&nbsp;<img title="\mathbb{R}^3" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{R}^3" />&nbsp;si ottiene ancora un punto dello spazio euclideo. La funzione che individua la struttura affine pu&ograve; anche essere definita come AxA--&gt;V, cio&egrave; presi due punti di A si ottiene sempre un vettore di V (che &egrave; determinato dalla differenza fra i due punti).
Siamo ora in grado di definire la struttura 'spazio-temporale' della Meccanica Classica. Sia&nbsp;A = (A,V) uno spazio reale affine, sia&nbsp;<img title="\tau" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\tau" />&nbsp;una funzione che mappa i punti di A in&nbsp;<img title="\mathbb{R}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{R}" />&nbsp;(il nostro orologio), sia&nbsp;<img title="\alpha" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha" />&nbsp;una funzione che mappa dal 'range' di validit&agrave; di&nbsp;<img title="\tau" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\tau" />&nbsp;di nuovo in A (una funzione inversa); la n-upla (A,&nbsp;<img title="\tau" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\tau" />,&nbsp;<img title="\alpha" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha" />) &egrave; la struttura 'spazio-temporale' della Meccanica Classica se per ogni punto P di A l'insieme dei punti Q di A tali per cui&nbsp;<img title="\tau(Q) -\tau(P)=0" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\tau(Q)&amp;space;-\tau(P)=0" />&nbsp;&egrave; ancora uno spazio vettoriale. L'insieme dei punti che si sta considerando rappresenta tutti i punti-eventi che sono simultanei con il punto considerato. La funzione&nbsp;<img title="\alpha" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha" />&nbsp;ha l'obiettivo di definire un sistema di riferimento, infatti a partire da un range di valori del tempo&nbsp;<img title="\tau" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\tau" />&nbsp;definisce un punto di A; cos&igrave; per ogni istante t,&nbsp;<img title="\alpha" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha" />(t) &egrave; il punto di A che rappresenta l'origine del sistema di riferimento 'inerziale' rispetto a cui sono valutati i moti.
Veniamo ora a trattare le 'nozioni primitive' che sono necessarie per la assiomatizzazione della meccanica classica: sono 5 che vengono qui di seguito elencate:
<ol>
<li style="text-align: justify;">un insieme P non vuoto di particelle.</li>
<li style="text-align: justify;">una funzione di posizione&nbsp;s:&nbsp;PxT--&gt;A che associa una particella p di P, un istante di tempo t di T e gli associa un punto a nello spazio affine.&nbsp;Richiediamo inoltre che la funzione s sia differenziabile (almeno 2 volte).</li>
<li style="text-align: justify;">una funzione di massa m:P--&gt;<img title="\mathbb{R}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{R}" />&nbsp;che associa ad una particella p di P il relativo valore di massa.</li>
<li style="text-align: justify;">una funzione di forza interna f:PxPxT--&gt;V che associa a due particelle di P - che costituiscono parte del sistema meccanico - in un istante di tempo t di T un vettore v di V</li>
<li style="text-align: justify;">una funzione di forza esterna g: PxT--&gt;V che agisce su P ad un certo instante t di T e che individua un vettore v di V.</li>
</ol>
Detta in termini pi&ugrave; consoni alla fisica, sia p la particella in esame, t il tempo che si sta considerando, la funzione s(p,t) rappresenta la posizione della particella; in realt&agrave; quello che si misura &egrave; il vettore s(p,t) -&nbsp;<img title="\alpha" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha" />(t) rispetto al sistema di riferimento. Date due particelle p, q la funzione f(p,q, t) &egrave; la forza 'interna' che la particella q esercita sulla particella p all'istante t. Infine sia p una particella e t un'istante di tempo, la funzione g(p,t) &egrave; la forza 'esterna' che agisce sulla particella p all'istante t.
Veniamo ora a definire gli assiomi della meccanica classica; essi sono divisi in una parte cinematica ed in una dinamica. L'idea intuitiva che sta alla base di questa distinzione &egrave; che gli assiomi cinematici sono quelli che stanno alla base della descrizione del moto, mentre gli assiomi dinamici sono quelli che determinano le cause del moto. La Meccanica Classica &egrave; individuata dalla struttura M=(P, s, m, f, g) rispetto ad una struttura spazio temporale ST=(A,&nbsp;<img title="\tau" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\tau" />,&nbsp;<img title="\alpha" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha" />)&nbsp;se valgono i seguenti assiomi cinematici e dinamici.
Gli assiomi cinematici sono:
<ol>
<li style="text-align: justify;">l'insieme T, il range di&nbsp;<img title="\tau" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\tau" />, &egrave; un intervallo di numeri reali.</li>
<li style="text-align: justify;">l'insieme P non &egrave; vuoto.</li>
<li style="text-align: justify;">per ogni p di P e t di T, s(p,t)&nbsp;&egrave; un punto di A(t)</li>
<li style="text-align: justify;">per ogni&nbsp;p di P e t di T, la funzione s(p,t) -&nbsp;<img title="\alpha" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha" />(t) &egrave; due volte differenziabile.</li>
</ol>
mentre gli assiomi dinamici sono:
<ol>
<li style="text-align: justify;">per ogni p di P la funzione m(p) definisce un numro reale positivo che ne rappresenta la massa</li>
<li style="text-align: justify;">Dati p e q di P ed un istante t vale la relazione f(p,q,t) = - f(q,p,t) che rappresenta la terza legge di Newton</li>
<li style="text-align: justify;">Dati p e q di P ed un istante t vale la relazione [s(p,t) - s(q,t),&nbsp;f(p,q,t) -&nbsp;f(q,p,t)] = 0 dove le [,] rappresenta il prodotto vettoriale che &egrave; fornito nello spazio euclideo. Questa condizione integra il punto precedente sulla terza legge di Newton, indicando che la forza fra due particelle agisce sulla linea&nbsp;che le congiunge.&nbsp;</li>
<li style="text-align: justify;">pato un p di P e t di T vale la relazione che la sommatoria delle forze esterne sulla particella deve essere convergente.</li>
<li style="text-align: justify;">vale la seconda legge di Newton che &egrave; espressa come:</li>
</ol>
<img title="m(p)D^2(s(p,t) - \alpha(t))= \sum _{q\varepsilon P}f(p,q,t))+\sum _{i=1}^{n}g(p,t, i))" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?m(p)D^2(s(p,t)&amp;space;-&amp;space;\alpha(t))=&amp;space;\sum&amp;space;_{q\varepsilon&amp;space;P}f(p,q,t))+\sum&amp;space;_{i=1}^{n}g(p,t,&amp;space;i))" />
dove&nbsp;<img title="D^2" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?D^2" />&nbsp;&egrave; la derivata seconda.&nbsp;
Se ora volessimo trattare il modello dell'oscillatore armonico lineare noti questi assiomi dovremmo semplicemente specializzare le strutture del tutto generali che abbiamo fino ad ora utilizzato.
La struttura spazio-temporale rimane la stessa anche se si riduce ad essere uno spazio monodimensionale&nbsp;<img title="\mathbb{R}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{R}" />&nbsp;.
Devono essere inoltre imposte le seguenti condizioni:
<ol>
<li style="text-align: justify;">L'insieme P delle particelle &egrave; costituito da un unico elemento che &egrave; il punto materiale che oscilla.</li>
<li style="text-align: justify;">La funzione s(p,t) che determina la posizione dell'oscillatore armonico si riduce ad essere x(t).</li>
<li style="text-align: justify;">il sistema di riferimento determinato da&nbsp;<img title="\alpha" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha" />(t) coincide con il centro di oscillazione.</li>
<li style="text-align: justify;">Le forze f(p,q,t) interne&nbsp;sono nulle.</li>
<li style="text-align: justify;">La forza esterna che agisce sull'oscillatore armonico &egrave; specializzata in g(t) = -kx(t), che corrisponde alla legge di Hooke.</li>
<li style="text-align: justify;">La seconda legge di Newton si modifica in:</li>
</ol>
&nbsp;<img title="m(t)D^2x(t)=-kx(t)" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?m(t)D^2x(t)=-kx(t)" />
&nbsp;