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La Fisica Stoica: la divisione infinita del Continuo
<p style="text-align: justify;">Il continuo è un concetto basilare degli Stoici; essi dovettero affrontare un problema che già Zenone di Elea aveva messo in evidenza con i suoi paradossi e che corrisponde alla divisione infinita di un elemento continuo. Il problema è fisico ma in special modo geometrico.</p> <p style="text-align: justify;">La prima aporia di Zenone afferma che il moto non esiste, perchè il corpo in moto prima di raggiungere il termine del percorso, deve raggiungere il punto di mezzo e così via... senza quindi mai riuscire ad iniziare il movimento. Se si affronta il problema da un punto di vista geometrico bisogna considerare un tratto di linea unitario; se ci si vuole spostare dall'estremo sinistro (il punto di partenza) al suo estremo destro che è distante una unità, dobbiamo superare un numero infinito di punti ottenuti dimezzando prima l'intero segmento, successivamente la sua metà destra, poi la metà destra di questa metà e così via. Siamo in presenza di una serie infinita di punti - 1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, 63/64... - che sono tutti inferiori all'unità, quantità dunque che non può essere mai raggiunta. Ciò significa che non si può mai arrivare alla meta. </p> <p style="text-align: justify;">Per risolvere tale problema è necessario l'introduzione del calcolo infinitesimale che fu una conquista della matematica del 17° secolo, ed in particolare modo del concetto di limite, cioè quell'entità matematica a cui tendono gli elementi di una serie infinita, come quella del paradosso di Zenone. Nessun singolo numero di tale serie raggiungerà l'unità, ma la differenza fra questa e gli elementi della serie diventa via via più piccola. Possiamo renderla piccola a piacere e farla tendere a zero considerando un numero sufficiente di punti. Ovviamante rimarrà sempre un numero infinito di punti fra l'ultimo elemento della serie ed il numero limite, come richiede il concetto di continuo. Il calcolo infinitesimale - di cui abbiamo dato un breve esempio - ha avuto il pregio di introdurre un aspetto dinamico nella matematica, di cui i paradossi di Zenone mostravano la mancanza.</p> <p style="text-align: justify;">Risulta anche interessante affrontare il terzo paradosso di Zenone; quello della freccia che è al contempo in volo ed immobile che riguarda il moto. Essa è in volo, perchè si sposta da un luogo all'altro dello spazio; d'altro canto è immobile in qualunque istante del moto considerato come 'presente'. Siccome ci sono infiniti punti fra il luogo in cui è scoccata la freccia e quello in cui essa arriva, l'intero movimento sembra costituito da tanti istanti di quiete. Per superare il problema è necessario introdurre il concetto di velocità istantanea, concetto che verrà presa in esame da Newton duemila anni dopo. I Greci non riuscirono mai a definire questo concetto elmentare. Se si considerano due punti nello spazio molto vicini occupati in istanti successivi dalla freccia, anche la distanza 'temporale' fra di essi sarà molto piccola; se poi facciamo tendere queste distanze a zero (cioè compiamo un processo di limite) riusciremo ad ottenere un valore ben definito del loro rapporto (la velocità) in un punto unico, che è - per così dire - uno dei punti di quiete della freccia. </p> <p style="text-align: justify;">Da quanto appena detto, risulta chiaro come la continuità del tempo sia più problematica di quella spaziale in quanto ogni azione che viene compiuta (ed il moto ne è un esempio) dipende da esso. Mentre la convergenza spaziale al limite fu compresa dagli Stoici, la convergenza al limite temporale non fu riconosciuta, in quanto essa comporta una chiara nozione della dipendenza temporale.</p> <p style="text-align: justify;">In ogni caso gli Stoici diedero una definizione di tempo che per la prima volta legava questo concetto a quello di velocità; infatti sia Zenone che Crisippo definiscono il tempo come "<em>intervallo del movimento rispetto a cui è sempre calcolata la misura della velocità e della lentezza.</em>" In questa definizione è indicato il nesso con la velocità, mentre il termine intervallo (<em>diastema</em> in greco) potrebbe fare supporre che essi avessero già compreso la necessità di definire due istanti di tempo. Essi non riuscirono però a compiere il passaggio al limite per definire un istante presente, ma sempre considerarono l'ora come una durata seppure piccola (in sostanza un differenziale di tempo). Plutarco infatti afferma "<em>Gli Stoici negavano l'esistenza di una porzione brevissima di tempo, poichè l' 'adesso' è una quantità indivisibile, e cio che viene considerato come esistente nel presente... è distribuito per una parte nel passato e per una parte nel futuro</em>". Questa formulazione, definendo il presente come centro di una porzione piccolissima di tempo, anche se finita, è la definizione di un differenziale di tempo, di una durata infinitesima. Una simile interpretazione si ha anche in Stobeo, dove per la definizone di tempo indicata da Crisippo egli afferma "<em>essere evidentissimo che non vi è tempo il quale esista nel presente. Infatti la suddivisione di tutto ciò che è continuo procede all'infinito, e, proprio per questo processo di suddivisione, anche il tempo è divisibile all'infinito; perciò nel presente non esiste alcun tempo in modo rigoroso, ma esso è definito soltanto in modo vago.</em>"</p> <p style="text-align: justify;">Se il concetto di limite applicato al tempo portava a delle difficoltà alla filosofia stoica, di ben diverso spessore fu il contributo degli Stoici al concetto di limite da un punto di vista squisitamente geometrico. Sempre Plutarco afferma che Crisippo riuscì a risolvere un problema messo in risalto da Democrito con il seguente paradosso: "<em>se un cono viene secato da un piano parallelo alla base [un fascio di piani], come si dovranno immaginare le superfici di sezione? verranno uguali o diseguali? Perchè, se saranno diseguali, renderanno diseguale il cono che verrà ad avere tante incisioni e scabrosità a gradini; ma se saranno uguali le superfici, saranno uguali anche le sezioni, ed il cono verrà ad assumere l'aspetto del cilindro, in quanto risultante dalla sovrapposizione di cerchi uguali e non diseguali: il che è sommamente asssurdo.</em>" A tale paradosso Crisippo rispose con una terminologia che cerca di esprimere concetti nell'estremamente piccolo e nel mondo del continuo; egli infatti afferma "<em>Talvolta una cosa è più grande di un'altra senza fuoriuscire</em>". Tale frase riporta subito alla mente il concetto di differenziale: quando ad una grandezza si aggiunge un differenziale, la grandezza cresce ma il suo aumento è infinitamente piccolo, onde essa 'non fuoriesce'. In altri termini: la tendenza a zero della distanza fra le sezioni del cono comporta la tendenza a zero delle differenze nelle loro superfici, e ne risulta un cono perfettamente liscio.</p> <p style="text-align: justify;">L'espressione 'più grande, senza uscire' rappresenta in modo adeguato il termine modeno "maggiore o uguale". A tale proposito è interessante anche un altro paradosso che deriva da quello indicato da Democrito. Se prendiamo 3 sezioni contigue del cono, denotandole, dal basso verso l'alto con le lettere A, B, C allora il corpo delimitato dalle sezioni AB avrà un volume maggiore di quello delimitato dalle sezion BC. Se poi ipotizziamo che le sezioni A e C sono vicine alla sezione B, si vedrà che la A non è sensibilmente più grande della B, e quest'ultima non sensibilmente maggiore della C. Pertanto nel passaggio al limite la sezione A non sarà sensibilmente più grande della C, e da qui otterremmo ancora che i corpi delimitati da AB e BC rispettivamente avranno volumi uguali, riducendo in questo modo il cono ad un cilindro. La risposta di Crisippo a questa versione del paradosso è "<em>Le superfici saranno insieme eguali e diseguali, ma i corpi non saranno uguali, poichè le loro superfici non sono insieme uguali e diseguali.</em>". L'espressione "superfici insieme uguali e diseguali" indica la serie infinita di sezioni A tendenti a B. Quando i corpi sono delimitati da superfici come queste, che sono maggiori od uguali ad una superficie data convergendo ad essa da entrambi i lati, i corpi differiscono in volume. A ben vedere nella frase di Crisippo abbiamo la prima definizione di grandezza infinitesimale.</p> <p style="text-align: justify;">Il metodo di iscrivere una grandezza fra due serie convergenti - che abbiamo visto nell'esempio appena fornito - fu applicato dagli Stoici a qualsiasi 'corpo' (dove sotto il termine corpo essi racchiudevano grandezze geometriche, tempo e spazio, sostanze e persino qualità come la saggezza). Essi infatti affemarono "<em>Non esiste in natura un corpo esterno, nè primo nè ultimo, con il quale abbia termine la dimensione di un corpo. Ma ogni corpo dato contiene qualcosa che va oltre a se stesso e il sostrato è inserito infinitamente e senza termine.</em>"</p> <p style="text-align: justify;"> Queste note sono tratte da "<em>Il mondo Fisico dei Greci</em>" di Sambursky.</p>
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