Vielbein - Relativity and other

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Einstein - Notes on the origin of the General Theory of Relativity

Nel 1934 Einstein scrive una piccola nota - presente nella raccolta Ideas and Opinions - in cui descrive brevemente il percorso che ha seguito per giungere dalla Relativit&agrave; Ristretta a quella Generale.
Egli part&igrave; dai risultati ottenuti con la Relativit&agrave; Ristretta nel 1905 e con la constatazione che in tale teoria i sistemi di riferimento inerziali hanno ancora un ruolo privilegiato che &egrave; in contrasto con l'assunto del tutto generale che le leggi fisiche debbano essere le stesse in qualsiasi sistema di riferimento. Messo in termini differenti, la relativit&agrave; ristretta mostrava come la velocit&agrave; non avesse alcun ruolo privilegiato nella decrizione della fisica, ma la stessa cosa non valeva per l'accelerazione, cio&egrave; l'accelerazione di un corpo/sistema di riferimento era un concetto ancora assoluto. Questo era anche in contraddizione con&nbsp;la visione di Mach, secondo cui l'accelerazione era un concetto&nbsp;relativo alle altre masse dell'universo, ma secondo Einstein "[...]&nbsp;this idea&nbsp;[...] provided no workable basis for a new theory". Le considerazioni appena svolte sono di tipo concettuale, ma fu solo lavorando&nbsp;alla determinazione di una teoria di campo per la gravit&agrave; che Einstein fece un passo fondamentale verso la Relativit&agrave; Generale.
Come molti autori di inizio secolo, anche Einstein cerc&ograve; di determinare un'equazione di campo per la gravit&agrave; - al fine di superare in primo luogo il problema dell'azione a distanza che gravava sulla teoria di Newton e che non era pi&ugrave; sostenibile dopo la Relativit&agrave; Ristretta che ammetteva una velocit&agrave; massima dei segnali - quella della luce. Se l'estensione della legge di Newten era abbastastanza semplice (tramite l'equazione di Poisson), pi&ugrave; complicato era determinare una corretta equazione per il moto di una particella in un campo gravitazionale. In questo caso infatti la massa doveva in qualche modo dipendere dal potenziale gravitazionale, come ci si doveva aspettare dall'equivalenza fra inerzia ed energia.
Lavorando per&ograve; su questo tema Einstein ottenne un risultato che dimostrava come la Relativit&agrave; Ristretta non fosse&nbsp;sufficiente a descrivere la gravit&agrave;. Con le sue parole... "According to classical mechanics, the vertical acceleration of a body in the vertical gravitational field is indipendent of the horizontal component of its velocity [&egrave; il Principio di Galileo]. Hence in such a gravitational field the vertical acceleration of a mechanical system or of its center of gravity works out indipendently of its internal kinetic energy. But in the theory I advanced, the acceleration of a falling body was not indipendent of its horizontal velocity or the internal energy of the system."&nbsp;
Per comprendere meglio questo passo dobbiamo considerare che il moto di un corpo in caduta libera nella Meccanica Classica non dipende dalla sua velocit&agrave;, ma solo dalla sua accelerazione verticale; se dunque si ottiene - come fece Einstein - un'equazione del moto che dipendeva anche dalla velocit&agrave;, questo era in contraddizione con il Principio di Galileo, accettato oramai da diversi secoli. Einstein decise di mantenere&nbsp;questa esperienza secolare e modificare la teoria da lui sviluppata nel 1905.&nbsp;
Che i corpi in un campo gravitazionale cadessero tutti con la medesima accelerazione rese Einstein "[...] in the highest degree amazed as its existence and guessed that in it must lie the key to a deeper understanding of inertia and gravitation."
Il fatto che i corpi cadessero nel campo gravitazionale con la medesima accelerazione si poteva anche esprimere con l'affermazione dell'equivalenza fra massa inerziale e massa gravitazionale che a sua volta poteva essere&nbsp;descritta come "In a homogeneous gravitational field all motions take place in the same way as in the absence of a gravitational field in relation to a uniformly accelerated coordinate system". Quello appena esposto prese il nome di Principio di Equivalenza.
Se il Principio di Equivalenza cos&igrave; espresso ha una sua validit&agrave;, significa che anche il principio di relativit&agrave; deve essere esteso almeno ai moti uniformemente accelerati, e su questo tema Einstein si concentr&ograve; fra il 1908 ed il 1911 cercando di ottenere diversi risultati dalle ipotesi fatte.
Bisognava dunque includere nella trattazione covariante della fisica anche sistemi in moto non uniforme, che portava a determinare le equazioni della fisica ed in special modo quelle per il campo gravitazionale&nbsp;a mantenere la loro forma per trasformazioni non lineari delle coordinate.
L'utilizzo di trasformazioni non lineari indusse Einstein a rendersi conto che l'usuale interpretazione delle coordinate attraverso aste rigide/orologi non era pi&ugrave; valida e questa problematica fu risolta solo nel 1912. Il pensiero originale per superare il problema &egrave; legato ad una considerazione sul Principio di Inerzia; se consideriamo un punto materiale non soggetto ad alcuna forza, esso si muove di moto rettilineo uniforme e pu&ograve; essere rappresentato in uno spazio 4-dimensionale come una linea retta, o come la linea pi&ugrave; breve fra due punti. Questo concetto presuppone per&ograve; quello di&nbsp;lunghezzza, che pu&ograve; essere definito solo attraverso una metrica. Minkowsky aveva dimostrato nel 1906 che la metrica adatta per la Relativit&agrave; Ristretta era una metrica pseudo-euclidea e che la radice quadrata della 'lunghezza' (ds) era una funzione quadratica dei differenziali delle coordinate.
Se per&ograve; si utilizzano altre coordinate, introdotte tramite trasformazioni non-lineari, l'elemento che rappresenta la lunghezza fra due punti (ds) rimane funzione dei differenziali delle coordinate, ma i coefficienti di tale funzione non sono pi&ugrave; costanti come nel caso della metrica minkowskiana, ma diventano funzioni delle coordinate; si ha in sostanza a che fare con una metrica riemaniana.
Come nel caso della legge di ineriza nella metrica pseudo-euclidea,&nbsp;l'equazione che descrive il percorso pi&ugrave; breve fra i due punti in uno spazio descritto da una metrica riemaniana diviene l'equazione del moto di un punto materiale che subisce solo la presenza della forza gravitazionale. I coefficienti della metrica dunque descrivono anche il campo gravitazionale.
Se dunque questo quadro concettuale era valido e dedotto dal Principio di Equivalenza rimanevano due problemi essenziali per una corretta teoria della gravitazione:
<ul>
<li style="text-align: justify;">Se si ha una legge di campo nella relativit&agrave; ristretta, come si pu&ograve; estendere ad una metrica riemaniana?</li>
<li style="text-align: justify;">Quali sono le leggi che determinano la metrica riemaniana?</li>
</ul>
Einstein lavor&ograve; su questi due punti fra il 1912 ed il 1914 insieme a Grossmann. Il primo punto fu risolto abbastanza facilmente facendo uso della geometria differenziale messa a disposizione da Ricci e Levi-Civita.
Il secondo problema invece risult&ograve; pi&ugrave; complicato e condusse Einstein ad una serie di errori legati al rifiuto del tensore di curvatura, di cui si rese pienamente conto solo nel 1915 e da qui ottenne le definitive equazioni di campo per la metrica.
La nota si conclude con un'interessante considerazione di Einstein che qui riportiamo: "But the years of anxious searching in the dark, with their intense longing, their alternations of confidence and exhaustion and the final emergence into the light - only those who have experienced it can understand that".