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Some notes on Relativity and other arguments
La legge di Galileo e la Relatività Ristretta
<p style="text-align: justify;">La legge di Galileo afferma che tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione in un campo gravitazionale esterno e si manifesta asserendo che la massa inerziale e quella gravitazione hanno 'inspiegabilmente' lo stesso valore.</p> <p style="text-align: justify;">Possiamo schematizzare l'esperienza di Galileo nei seguenti 3 punti:</p> <ol> <li style="text-align: justify;">Due pietre lanciate dalla sommità di una torre raggiungono il suolo al medesimo istante, qualunque sia la loro massa e la loro composizione.</li> <li style="text-align: justify;">Due pietre, una lasciata cadere liberamente e l'altra lanciata orizzontalmente dalla sommità di una torre, raggiungono il suolo al medesimo istante, qualunque sia la loro massa e la loro composizione.</li> <li style="text-align: justify;">L'accelerazione delle pietre nella direzione orizzontale è nulla.</li> </ol> <p style="text-align: justify;">Questa legge non è più valida in Relatività Ristretta in primo luogo da un punto di vista cinematico. Se si considera - come fece Einstein - una pietra in caduta libera ed un proiettile lanciato nello stesso istante e dalla stessa altezza in direzione orizzontale, per la fisica classica essi cadono a terra nello stesso istante (come abbiamo indicato nel punto 2). Se però ci poniamo in un sistema di riferimento che si muove orizzontalmente con la stessa velocità del proiettile avremo che le traiettorie dei due corpi sono invertite. Secondo la fisica classica anche in questo caso i due oggetti dovrebbero arrivare a terra nello stesso istante. Per la Relatività Ristretta invece, la simultaneità fra sistemi di riferimento è solo relativa e dipende cioè dallo stato di moto del sistema di riferimento. Questo implica che ciò che per un sistema di riferimento è simultaneo non è più vero per un sistema di riferimento in moto rispetto al primo.</p> <p style="text-align: justify;">La Relatività Ristretta non ha modificato solo i concetti cinematici, ma anche quelli dinamici con la famosa equazione che lega massa inerziale ed energia; in questa teoria infatti quando un sistema acquista o perde energia la medesima cosa accade per la sua massa inerziale. La legge di Galileo ci dice che nella fisica classica la massa inerziale coincide con quella gravitazionale, sebbene siano due concetti distinti. Che cosa può accadere alla massa gravitazionale se il sistema acquista energia? Se si vuole mantenere la legge di Galileo si deve ammettere che il cambio di massa inerziale - dovuta all'acquisizione/diminuzione di energia - deve riproporsi anche per la massa gravitazonale. In sostanza in una teoria relativistica della gravitazione anche la massa gravitazionale di un sistema fisico deve dipendere in modo noto dalla sua energia totale.</p> <p style="text-align: justify;">Per comprendere meglio il ragionamento - che fece Einstein intorno al 1907 - proviamo a dimostrare come l'esperienza di Galileo non sia compatibile con la Relatività ristretta e con l'uguaglianza di massa inerziale e gravitazionale.</p> <p style="text-align: justify;">Per prima cosa consideriamo la definizione dell'impulso nella relatività ristretta:</p> <p style="text-align: center;"><img title="p=m_0\gamma v" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?p=m_0\gamma&space;v" /></p> <p style="text-align: justify;">dove <img title="m_0" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?m_0" /> è la massa a riposo della particella e <img title="\gamma" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\gamma" /> è il fattore di Lorentz (che dipende dalla velocità) ed è definito come:</p> <p style="text-align: center;"><img title="\gamma (v) = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\gamma&space;(v)&space;=&space;\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}" /></p> <p style="text-align: justify;">E' importante anche ottenere il suo quadrato che ci sarà utile in seguito:</p> <p style="text-align: center;"><img title="\gamma^2 = \frac{c^2}{c^2 - v^2}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\gamma^2&space;=&space;\frac{c^2}{c^2&space;-&space;v^2}" /></p> <p style="text-align: justify;">La forza che agisce su una particella è dunque determinata dall'eqauzione:</p> <p style="text-align: center;"><img title="F = \frac{d}{dt}(m_0 \gamma v) = m_0 \frac{d(\gamma\vec{v})}{dt} = m_0\left [ \frac{d \gamma}{dt} \cdot\vec{v} + \gamma\cdot \frac{dv}{dt} \right ]" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?F&space;=&space;\frac{d}{dt}(m_0&space;\gamma&space;v)&space;=&space;m_0&space;\frac{d(\gamma\vec{v})}{dt}&space;=&space;m_0\left&space;[&space;\frac{d&space;\gamma}{dt}&space;\cdot\vec{v}&space;+&space;\gamma\cdot&space;\frac{dv}{dt}&space;\right&space;]" /></p> <p style="text-align: justify;">per sviluppare ulteriormente dobbiamo derivare rispetto al tempo il fattore di Lorentz:</p> <p style="text-align: center;"><img title="\frac{d \gamma}{dt} = \frac{\vec v}{c^2}\cdot \gamma^3 \cdot \frac{d\vec v}{dt}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{d&space;\gamma}{dt}&space;=&space;\frac{\vec&space;v}{c^2}\cdot&space;\gamma^3&space;\cdot&space;\frac{d\vec&space;v}{dt}" /></p> <p style="text-align: justify;">e andando a sostituire nella formula precedente:</p> <p style="text-align: center;"><img title="F = m\left [ \frac{\vec v}{c^2}\cdot \gamma^3 \vec a \cdot v + \gamma \cdot \vec a \right ] = \frac{m \gamma^3}{c^2}\left [ \vec v \cdot \vec a \cdot \vec v + \frac{c^2}{\gamma^2} \cdot \vec a \right ]" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?F&space;=&space;m\left&space;[&space;\frac{\vec&space;v}{c^2}\cdot&space;\gamma^3&space;\vec&space;a&space;\cdot&space;v&space;+&space;\gamma&space;\cdot&space;\vec&space;a&space;\right&space;]&space;=&space;\frac{m&space;\gamma^3}{c^2}\left&space;[&space;\vec&space;v&space;\cdot&space;\vec&space;a&space;\cdot&space;\vec&space;v&space;+&space;\frac{c^2}{\gamma^2}&space;\cdot&space;\vec&space;a&space;\right&space;]" /></p> <p style="text-align: justify;">dove <img title="\vec a = \frac{d\vec v}{dt}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec&space;a&space;=&space;\frac{d\vec&space;v}{dt}" /> e abbiamo tralasciato l'indice (0) per la massa. Sviluppando ulteriormente ed utilizzando quanto calcolato per <img title="\gamma^2" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\gamma^2" /> si ottiene l'espressione:</p> <p style="text-align: center;"><img title="F = m\cdot \gamma \left [ \vec a + \frac{\vec v \cdot \vec a \cdot \vec v}{c^2 - v^2} \right ]" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?F&space;=&space;m\cdot&space;\gamma&space;\left&space;[&space;\vec&space;a&space;+&space;\frac{\vec&space;v&space;\cdot&space;\vec&space;a&space;\cdot&space;\vec&space;v}{c^2&space;-&space;v^2}&space;\right&space;]" /></p> <p style="text-align: justify;">Consideriamo ora un campo gravitazionale le cui componenti spaziali determinano l'accelerazione di una particella relativistica. Se ipotizziamo che la massa inerziale coincida con quella gravitazionale vale la relazione:</p> <p style="text-align: center;"><img title="F = m \gamma \vec g = m\gamma \left [ \vec a + \frac{\vec v \cdot \vec a \cdot \vec v}{c^2 - v^2} \right ]" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?F&space;=&space;m&space;\gamma&space;\vec&space;g&space;=&space;m\gamma&space;\left&space;[&space;\vec&space;a&space;+&space;\frac{\vec&space;v&space;\cdot&space;\vec&space;a&space;\cdot&space;\vec&space;v}{c^2&space;-&space;v^2}&space;\right&space;]" /></p> <p style="text-align: justify;">da cui semplificando:</p> <p style="text-align: center;"><img title="\vec g = \vec a + \frac{\vec v \cdot \vec a \cdot \vec v}{c^2 - v^2}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec&space;g&space;=&space;\vec&space;a&space;+&space;\frac{\vec&space;v&space;\cdot&space;\vec&space;a&space;\cdot&space;\vec&space;v}{c^2&space;-&space;v^2}" /></p> <p style="text-align: justify;"><strong>Si deduce dunque che l'accelerazione è indipendente dalla massa ma dipende dal moto della particella nel campo gravitazionale</strong>: questo risultato è in contraddizione con l'esperienza di Galileo.</p> <p style="text-align: justify;">Possiamo approfondire ulteriormente le nostre considerazioni se cerchiamo di trattare il moto relativistico di un proiettile. Sappiamo che in Meccanica Classica la componente orizzontale dell'accelerazione è nulla, mentre è valorizzata quella lungo l'asse z - asse lungo cui agisce il campo gravitazionale.</p> <p style="text-align: justify;">Consideriamo dunque un sasso lanciato orizzontalmente - lungo l'asse x - in un campo gravitazionale diretto lungo l'asse z (<img title="\vec g = -g \cdot \vec z" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec&space;g&space;=&space;-g&space;\cdot&space;\vec&space;z" />). L'equazione precedente scomposta nelle due componenti (z, x) diviene ora:</p> <p style="text-align: center;"><img title="a_z \frac{(\vec v \cdot \vec a) v_z}{c^2 - v^2} = -g" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a_z&space;\frac{(\vec&space;v&space;\cdot&space;\vec&space;a)&space;v_z}{c^2&space;-&space;v^2}&space;=&space;-g" /></p> <p style="text-align: center;"><img title="a_x \frac{(\vec v \cdot \vec a) v_x}{c^2 - v^2} = 0" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a_x&space;\frac{(\vec&space;v&space;\cdot&space;\vec&space;a)&space;v_x}{c^2&space;-&space;v^2}&space;=&space;0" /></p> <p style="text-align: justify;">Se sviluppiamo le due formule precedenti al secondo ordine in <img title="\frac{v^2}{c^2}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{v^2}{c^2}" /> otteniamo:</p> <p style="text-align: center;"><img title="a_{z}^{2}= -g \left (1-\frac{v^2}{c^2} \right )" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a_{z}^{2}=&space;-g&space;\left&space;(1-\frac{v^2}{c^2}&space;\right&space;)" /></p> <p style="text-align: center;"><img title="a_{x}^{2} = g \frac{v_z v_x}{c^2}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a_{x}^{2}&space;=&space;g&space;\frac{v_z&space;v_x}{c^2}" /></p> <p style="text-align: justify;">da cui si deduce che anche in un campo gravitazionale che agisce verticalmente <strong>l'accelerazione di un proiettile ha sia una componente verticale che orizzontale</strong>. Anche quest'ultimo punto contraddice l'esperienza di Galileo - come aveva sospettato Einstein.</p>
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