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Vielbein Latest notes...		Some notes on Relativity and other arguments   Volovich - Formulazione funzionale della Meccanica Classica <p style="text-align: justify;">Una delle caratteristiche tipiche della Meccanica Classica &egrave; l'infinita precisione che essa richiede nel trattamento delle informazioni. Nei primi anni del 2000 ci sono stati alcuni studi che hanno&nbsp;criticato questo aspetto al fine di facilitare il passaggio dalla Meccanica Classica a quella Quantistica. Uno di questi esempi &egrave; quello che ha proposto Volovich ipotizzando che la traiettoria di una particella classica non sia definita, ma il moto della particella sia descritto da un'insieme di traiettorie, di cui quella effettiva &egrave; solo la media. Tale scelta deriva dall'ipotesi che qualunque misurazione ha a che fare non con i numeri reali - che richiedono una precisione infinita ("infinite decimal expansion") - ma al pi&ugrave; con i numeri razionali con i relativi errori.</p> <p style="text-align: justify;">Se consideriamo il moto di una particella classica in un&nbsp;potenziale, essa &egrave; descritta da due coordinate (q,p) nello spazio delle Fasi&nbsp;<img title="\mathbb{R}^2" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{R}^2" />&nbsp;e dal tempo <img title="t \epsilon \mathbb{R}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?t&amp;space;\epsilon&amp;space;\mathbb{R}" />. Lo stato della particellla classica &egrave; descritto da una funzione nello spazio delle fasi che descrive la probabilit&agrave; che la particella abbia determinate coordinate ad un certo istante di tempo:</p> <p style="text-align: center;"><img title="\rho = \rho(q,p,t))" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\rho&amp;space;=&amp;space;\rho(q,p,t))" /></p> <p style="text-align: justify;">Per comprendere in che cosa consista questa distribuzione di probabilit&agrave; l'autore fa l'esempio di un pianeta che viene descritto da un insieme di astronomi, ognuno dei quali fornisce la propria posizione e impulso ad un determinato istante di tempo.</p> <p style="text-align: justify;">Quando&nbsp;<img title="\rho" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\rho" />&nbsp;presenta dei picchi per valori precisi di q e p significa che la particella presenta quei valori approssimati di posizione ed impulso.</p> <p style="text-align: justify;">Si ammette inoltre che la distribuzione di probabilit&agrave; soddisfi la condizione seguente:</p> <p style="text-align: center;"><img title="\int _{\mathbb{R}^2}\rho(q,p,t) dq dp = 1" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int&amp;space;_{\mathbb{R}^2}\rho(q,p,t)&amp;space;dq&amp;space;dp&amp;space;=&amp;space;1" /></p> <p style="text-align: justify;">che rappresenta una normalizzazione sullo spazio delle fasi.</p> <p style="text-align: justify;">Se abbiamo una funzione nello spazio delle fasi&nbsp;<img title="f = f(q,p)" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?f&amp;space;=&amp;space;f(q,p)" />&nbsp;il suo valore medio ad un tempo t sar&agrave; determinato dall'equazione:</p> <p style="text-align: center;"><img title="&lt;f(t)&gt; = \int f(q,p) \rho(q,p,t) dq dp" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?&lt;f(t)&gt;&amp;space;=&amp;space;\int&amp;space;f(q,p)&amp;space;\rho(q,p,t)&amp;space;dq&amp;space;dp" /></p> <p style="text-align: justify;">Se consideriamo ora il moto della particella in un potenziale V(t) dobbiamo utilizzare non tanto l'equazione di Newton, quanto quella di Liouville perch&egrave; stiamo considerando un flusso di densit&agrave; di probabilit&agrave; nel tempo, che assume la forma</p> <p style="text-align: center;"><img title="\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\frac{p}{m} \frac{\partial \rho}{\partial q} + \frac{\partial V(q)}{\partial q} \frac{\partial \rho}{\partial p}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{\partial&amp;space;\rho}{\partial&amp;space;t}&amp;space;=&amp;space;-\frac{p}{m}&amp;space;\frac{\partial&amp;space;\rho}{\partial&amp;space;q}&amp;space;+&amp;space;\frac{\partial&amp;space;V(q)}{\partial&amp;space;q}&amp;space;\frac{\partial&amp;space;\rho}{\partial&amp;space;p}" /></p> <p style="text-align: justify;">Se conosciamo la distribuzione di probalit&agrave; all'istante iniziale&nbsp;<img title="\rho_0(q,p)" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\rho_0(q,p)" />&nbsp;possiamo conoscerla all'istante t utilizzando l'equazione precedente. Immaginiamo di avere come distribuzione di probabilit&agrave; una gaussiana che assume la forma:</p> <p style="text-align: center;"><img title="\rho_0(q,p) = \frac{1}{\pi a b}e^{(-\frac{(q-q_0)^2}{a^2})} e^{-\frac{(p-p_0)^2}{b^2}}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\rho_0(q,p)&amp;space;=&amp;space;\frac{1}{\pi&amp;space;a&amp;space;b}e^{(-\frac{(q-q_0)^2}{a^2})}&amp;space;e^{-\frac{(p-p_0)^2}{b^2}}" /></p> <p style="text-align: justify;">che per piccoli valori di a e b (positivi) corrisponde ad una particella localizzata in&nbsp;<img title="q_0" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?q_0" />&nbsp;con impulso&nbsp;<img title="p_0" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?p_0" />&nbsp;(con i relativi valori medi). Le dispersioni sono:</p> <p style="text-align: center;"><img title="\Delta q^2 = 1/2 a^2 \: \Delta p^2 = 1/2 b^2" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Delta&amp;space;q^2&amp;space;=&amp;space;1/2&amp;space;a^2&amp;space;\:&amp;space;\Delta&amp;space;p^2&amp;space;=&amp;space;1/2&amp;space;b^2" /></p> <p style="text-align: justify;">Se consideriamo il moto di una particella libera (senza potenziale) l'equazione di Liouville si riduce a:</p> <p style="text-align: center;"><img title="\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\frac{p}{m} \frac{\partial \rho}{\partial q}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{\partial&amp;space;\rho}{\partial&amp;space;t}&amp;space;=&amp;space;-\frac{p}{m}&amp;space;\frac{\partial&amp;space;\rho}{\partial&amp;space;q}" /></p> <p style="text-align: justify;">e la distribuzione di probabilit&agrave; a&nbsp;<img title="q - \frac{p}{m} t" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?q&amp;space;-&amp;space;\frac{p}{m}&amp;space;t" />&nbsp;avr&agrave; l'espressione:</p> <p style="text-align: center;"><img title="\rho(q,p,t) = \frac{1}{\pi a b} exp\left \{ -\frac{(q - q_0 -p/mt)^2}{a^2} - \frac{(p - p_0)^2}{b^2} \right \}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\rho(q,p,t)&amp;space;=&amp;space;\frac{1}{\pi&amp;space;a&amp;space;b}&amp;space;exp\left&amp;space;\{&amp;space;-\frac{(q&amp;space;-&amp;space;q_0&amp;space;-p/mt)^2}{a^2}&amp;space;-&amp;space;\frac{(p&amp;space;-&amp;space;p_0)^2}{b^2}&amp;space;\right&amp;space;\}" /></p> <p style="text-align: justify;">Se infine consideriamo la distribuzione di probabilit&agrave; delle coordinate otteniamo:</p> <p style="text-align: center;"><img title="\rho (q, t) = \int \rho(q,p,t) dp = \frac{1}{\sqrt{\pi (a^2 + \frac{b^2 t^2}{m^2})}} exp\left \{ - \frac{(q - q_0 - p_0/mt)^2}{\frac{a^2 + b^2 t^2}{m^2}} \right \}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\rho&amp;space;(q,&amp;space;t)&amp;space;=&amp;space;\int&amp;space;\rho(q,p,t)&amp;space;dp&amp;space;=&amp;space;\frac{1}{\sqrt{\pi&amp;space;(a^2&amp;space;+&amp;space;\frac{b^2&amp;space;t^2}{m^2})}}&amp;space;exp\left&amp;space;\{&amp;space;-&amp;space;\frac{(q&amp;space;-&amp;space;q_0&amp;space;-&amp;space;p_0/mt)^2}{\frac{a^2&amp;space;+&amp;space;b^2&amp;space;t^2}{m^2}}&amp;space;\right&amp;space;\}" /></p> <p style="text-align: justify;">mentre la distribuzione dei momenti &egrave;:</p> <p style="text-align: center;"><img title="\rho(p,t) = \int \rho(q,p,t)dq = \frac{1}{\sqrt{\pi} b} exp \left \{ -\frac{(p-p_0)^2}{b^2} \right \}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\rho(p,t)&amp;space;=&amp;space;\int&amp;space;\rho(q,p,t)dq&amp;space;=&amp;space;\frac{1}{\sqrt{\pi}&amp;space;b}&amp;space;exp&amp;space;\left&amp;space;\{&amp;space;-\frac{(p-p_0)^2}{b^2}&amp;space;\right&amp;space;\}" /></p> <p style="text-align: justify;">da cui si deduce che la distribuzione dei momenti non cambia nel tempo, mentre quella delle coordinate si.&nbsp; Se calcoliamo la dispersione per le coordinate otteniamo che essa cresce nel tempo:</p> <p style="text-align: center;"><img title="\Delta q^2 (t) = \frac{1}{2} (a^2 + \frac{b^2 t^2}{m^2})" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Delta&amp;space;q^2&amp;space;(t)&amp;space;=&amp;space;\frac{1}{2}&amp;space;(a^2&amp;space;+&amp;space;\frac{b^2&amp;space;t^2}{m^2})" /></p> <p style="text-align: justify;">se dunque abbiamo un'altissima precisione sulla posizione della particella a t= 0 (che si ottiene facendo tendere a zero la variabile a), questa precisione diminuisce nel tempo: si ha dunque una delocalizzazione della particella (fenomeno tipico anche della Meccanica Quantistica).</p> <p style="text-align: justify;">E' interessante sottolineare che l'autore utilizza questo effetto per introdurre un 'aspetto' di irreversibilit&agrave; nella Meccanica Classica.</p>