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Skala - Quantum Mechanics and Mathematical Statistics
<p style="text-align: justify;">In questo articolo del 2012 Skala et al. studiano i legami che esistono fra la matematica statistica e la Meccanica Quantistica, mostrando come la struttura matematica della meccanica quantistica sia una generalizzazione della meccanica classica basata sull'assunzione che qualsiasi misura abbia un carattere statistico.</p> <p style="text-align: justify;">Una qualsiasi misurazione di una grandezza fisica è raprpesentata nell'esperienza attraverso una distribuzione di probabilità; se ci limitiamo alla sola posizione x la distribuzione dei risultati della misura della coordinata x al tempo t può essere descritta dalla densità di probabilità <img title="\rho(x,t)" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\rho(x,t)" /> che soddisfa la condizione:</p> <p style="text-align: center;"><img title="\int \rho (x,t) dx = 1" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int&space;\rho&space;(x,t)&space;dx&space;=&space;1" /></p> <p style="text-align: justify;">dove ci si limita a quelli che sono indicati come 'bound-state' che sono caratterizzati dalla condizione:</p> <p style="text-align: center;"><img title="lim_{x\rightarrow \pm \infty }x^n \rho = 0" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?lim_{x\rightarrow&space;\pm&space;\infty&space;}x^n&space;\rho&space;=&space;0" /></p> <p style="text-align: justify;">Il valore medio delle misurazioni di x è determinato da:</p> <p style="text-align: center;"> <img title="<x> = \int x \rho dx" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?<x>&space;=&space;\int&space;x&space;\rho&space;dx" /> </p> <p style="text-align: justify;">che si riduce alla posizione classica della particella - se x rappresenta la sua posizione - al limite di</p> <p style="text-align: center;"> <img title="\rho(x,t)\rightarrow \delta(x-x_cl)" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\rho(x,t)\rightarrow&space;\delta(x-x_cl)" /></p> <p style="text-align: justify;">In meccanica classica il moto di una particella massiva è descritta dall'equazione di Hamilton Jacobi che introduce l'azione S. Tramite quest'ultima grandezza è possibile esprime il momento p della particella come:</p> <p style="text-align: center;"><img title="p = \frac{\partial S}{\partial x_{cl}}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?p&space;=&space;\frac{\partial&space;S}{\partial&space;x_{cl}}" /></p> <p style="text-align: justify;">dove come al solito <img title="x_{cl}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_{cl}" /> è la posizione classica della particella. Una generalizzazione di questa equazione, tenendo conto che le misure di p portano ad un valore medio, è la seguente (simile a quella della grandezza x):</p> <p style="text-align: center;"><img title="<p> = \int p \rho dx = \int \frac{\partial s_1}{\partial x} \rho dx" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?<p>&space;=&space;\int&space;p&space;\rho&space;dx&space;=&space;\int&space;\frac{\partial&space;s_1}{\partial&space;x}&space;\rho&space;dx" /></p> <p style="text-align: justify;">dove nel limite classica la funzione <img title="s_1" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?s_1" /> si riconduce all'azione classica S.</p> <p style="text-align: justify;">Se ora introduciamo una rappresentazione per la densità di probabilità pari a:</p> <p style="text-align: center;"><img title="\rho = e^{-\frac{2s_2}{h}}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\rho&space;=&space;e^{-\frac{2s_2}{h}}" /></p> <p style="text-align: justify;">riusciamo ad ottenere sia l'operatore impulso sia l'equazione d'onda di Schrodinger della Meccanica Quantistica. Riscriviamo il valore medio di p come:</p> <p style="text-align: center;"><img title="<p> = \int \frac{\partial s_1}{\partial x} \rho dx = \int\rho e^{-\frac{is_1}{h}}\left (-ih \frac{\partial}{\partial x} \right) e^{\frac{is_1}{h}} dx" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?<p>&space;=&space;\int&space;\frac{\partial&space;s_1}{\partial&space;x}&space;\rho&space;dx&space;=&space;\int\rho&space;e^{-\frac{is_1}{h}}\left&space;(-ih&space;\frac{\partial}{\partial&space;x}&space;\right)&space;e^{\frac{is_1}{h}}&space;dx" /></p> <p style="text-align: justify;"> e teniamo inoltre in conto che per le condizioni imposte (bound state) si ha:</p> <p style="text-align: center;"><img title="\int \frac{\partial s_2}{\partial x} \rho dx = 0" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int&space;\frac{\partial&space;s_2}{\partial&space;x}&space;\rho&space;dx&space;=&space;0" /></p> <p style="text-align: justify;">integrando su <img title="\pm \infty" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\pm&space;\infty" />. Con questa condizione il valore medio dell'impulso assume la forma:</p> <p style="text-align: center;"><img title="<p> = \int e^{(-is_1 - s_2)/h}\left ( -ih \frac{\partial}{\partial x} \right ) e^{(is_1 - s_2)/h} dx" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?<p>&space;=&space;\int&space;e^{(-is_1&space;-&space;s_2)/h}\left&space;(&space;-ih&space;\frac{\partial}{\partial&space;x}&space;\right&space;)&space;e^{(is_1&space;-&space;s_2)/h}&space;dx" /></p> <p style="text-align: justify;">che corrisponde all'espressione della meccanica quantistica introducendo la funzione d'onda:</p> <p style="text-align: center;"><img title="\Psi = e^{(is_1 - s_2)/h}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Psi&space;=&space;e^{(is_1&space;-&space;s_2)/h}" /></p> <p style="text-align: justify;">Abbiamo dunque ottenuto che la funzione d'onda della meccanica quantistica non è altro che un modo diverso per rappresentare lo stato di una particella con le funzioni reali <img title="s_1" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?s_1" /> e <img title="s_2" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?s_2" />. Una altra considerazione da fare è che rappresentare l'impulso come un operatore (meccanica quantistica) o come la derivata della 'generalizzazione dell'azione (matematica statistica) è del tutto equivalente. Gli autori comunque sottolineano che la rappresentazione dell'impulso attraverso la matematica statistica porta a risultati incompatibili con quelli della meccanica quantistica.</p> <p style="text-align: justify;">In questa nota abbiamo introdotto un 'assaggio' di come si possa passare dalla matematica statistica applicata alle misurazioni di grandezze fisiche alla Meccanica Quantistica. Bisogna inoltre sottolineare che la scelta della densità a nostro avviso - per come è stata introdotta - è solo un artificio matematico per giungere ad ottenere la funzione d'onda di Schrodinger. </p> <p style="text-align: justify;"> </p>
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