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Sistemi di riferimento inerziali - analisi attraverso i frames
<p style="text-align: justify;">In questa nota cercheremo di analizzare i sistemi inerziali nella meccanica classica tramite i dynamic frames proposti da Barsalou; in particolare utilizzeremo la loro estensione proposta da Kornmesser e Schurz nell'articolo "<em>Analyzing Theories in the Frame Model</em>" del 2018. Ci limiteremo inoltre a considerare i sistemi inerziali proposti da Newton e la loro critica operata da Mach.</p> <p style="text-align: justify;">In poche parole un Theory Frame è un Dynamic Frame i cui attributi assumono valori continui e i cui constraints sono determinati da leggi fisiche/matematiche. Nell'articolo di Kornmesser si fa riferimento all'elettrostatica ed essa è descritta dal frame i cui attributi sono:</p> <p style="text-align: justify; padding-left: 30px;">elettrostatica = {E(x, p), Q(x), λ(x), σ(x), S(x)}</p> <p style="text-align: justify;">dove E(x, p) rappresenta il campo elettrico E di una particella caica x in un punto p dello spazio, Q(x) è la carica della particella x, λ(x) è la densità di carica lineare, σ(x) è la densità di carica superficiale ed infine S(x) è la funzione che determina la posizione della particella x. Il superordinate concept è definito come <em>'Theory Application</em>' ed in questo caso corrisponde '<em>all'electrostatic object x</em>'.</p> <p style="text-align: justify;">E' da osservare che tutti gli attributi sono in sostanza delle funzioni che a fronte di valori assegnano dei numeri reali; così ad esempio l'attributo Q(x) è una funzione definita come:</p> <p style="text-align: justify; padding-left: 30px;">Q : X → R</p> <p style="text-align: justify;">cioè prende una particella (electrostatic object) x ∈ X è gli associa un numero reale che ne rappresenta la carica.</p> <p style="text-align: justify;">A questo punto i constraints che legano insieme gli attributi sono le leggi fisiche; ad esempio la legge fisica che unisce il campo elettrico alla carica Q di una particella x è determinato dalla legge:</p> <p style="text-align: justify; padding-left: 30px;"><img title="E\left ( x, p \right )= Q\left ( x \right )\cdot \left ( 4\pi \varepsilon _{0}S(x_{0})^{2} \right )^{-1}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?E\left&space;(&space;x,&space;p&space;\right&space;)=&space;Q\left&space;(&space;x&space;\right&space;)\cdot&space;\left&space;(&space;4\pi&space;\varepsilon&space;_{0}S(x_{0})^{2}&space;\right&space;)^{-1}" /></p> <p style="text-align: justify;">Secondo Kornmesser gli attributi di un Theory Frame sono dei termini teorici - o '<em>nomic concept</em>' secondo la definizione di Kuhn - definiti dalle equazioni (constraints) della teoria come nel caso del campo elettrico, o dei concetti base - '<em>normic concept</em>' nella terminologia di Kuhn - come può essere la posizione della particella carica.</p> <p style="text-align: justify;">Ora possiamo iniziare a considerare come definire i sistemi di riferimento inerziali. Dobbiamo innanzitutto considerare un insieme di particelle <img title="\left \{ p_{i} \right \}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left&space;\{&space;p_{i}&space;\right&space;\}" /> - che rappresenta il nostro universo - per ognuna delle quali è definita una massa <img title="m_{i}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?m_{i}" /> . La posizione di una particella è una funzione definita come:</p> <p style="text-align: justify; padding-left: 30px;"><img title="S:p \epsilon \left \{ p_{i} \right \}\rightarrow x \epsilon R" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?S:p&space;\epsilon&space;\left&space;\{&space;p_{i}&space;\right&space;\}\rightarrow&space;x&space;\epsilon&space;R" /></p> <p style="text-align: justify;">L'accelerazione di una particella a sua volta è definita come una funzione che associa alla posizione di una particella la sua derivata seconda rispetto al tempo:</p> <p style="text-align: justify; padding-left: 30px;"><img title="A:S(p)\rightarrow a \epsilon R" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?A:S(p)\rightarrow&space;a&space;\epsilon&space;R" /></p> <p style="text-align: justify;">Il constraint che lega l'attributo S all'attributo A è dato dall'equazione:</p> <p style="text-align: justify; padding-left: 30px;"><img title="A(p_{i})=\frac{\partial ^{2}S(p_{i}))}{\partial t^2}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?A(p_{i})=\frac{\partial&space;^{2}S(p_{i}))}{\partial&space;t^2}" /></p> <p style="text-align: justify;">Abbiamo dunque definito un theoretical frame che è composto dagli attributi {S, A}, di cui il primo è un concetto base, mentre il secondo è teorico, in quanto definito attraverso una legge dal frame che lo lega al primo. E' importante osservare che l'accelerazione in genere non è pensato come un termine teorico. La Theory Application in questo caso è il moto rettilineo uniforme di una particella massiva. E' opportuno notare che bisognerebbe tenere in conto anche della velocità del corpo in moto, ma in questo caso abbiamo tralasciato la sua descrizione perchè non fondamentale per la definizione dei sistemi inerziali.</p> <p style="text-align: justify;">Un sistema inerziale a questo punto sarà un sub-concetto di tale frame individuato dalla particolare equazione:</p> <p style="text-align: justify; padding-left: 30px;"><img title="\frac{\partial ^{2}S({p_{i})^{2}}}{\partial t^{2}} = 0" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{\partial&space;^{2}S({p_{i})^{2}}}{\partial&space;t^{2}}&space;=&space;0" /></p> <p style="text-align: justify;">che esprime la classica legge di inerzia. Rifacendosi alla classica definizione di frame proposta da Barsalou, l'equazione appena descritta rappresenta un 'determination link' del sub-concetto 'sistema inerziale'.</p> <p style="text-align: justify;">Se ora prendiamo in esame la critica di Mach alla legge di inerzia dobbiamo innanzi tutto osservare che nel frame appena costruito le particelle che compongono il nostro universo non sono prese in considerazione, così come pure la loro massa. Per prima cosa bisogna dunque definire in modo differente l'attributo di posizione S, che ora avrà due termini, in modo da definire una distanza relativa fra la particella <img title="p_{i}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?p_{i}" /> presa a campione e ognuna delle particelle <img title="p_{j}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?p_{j}" /> che costituiscono il nostro universo:</p> <p style="text-align: justify; padding-left: 30px;"><img title="S:p_{i} \epsilon \left \{ p_{k} \right \}, p_{j} \epsilon \left \{ p_{k} \right \} \rightarrow x \epsilon R" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?S:p_{i}&space;\epsilon&space;\left&space;\{&space;p_{k}&space;\right&space;\},&space;p_{j}&space;\epsilon&space;\left&space;\{&space;p_{k}&space;\right&space;\}&space;\rightarrow&space;x&space;\epsilon&space;R" /></p> <p style="text-align: justify;">Allo stesso modo si dovrà definire l'accelerazione della particella in riferimento agli altri corpi massivi:</p> <p style="text-align: justify; padding-left: 30px;"><img title="A : p_{i} \epsilon \left \{ p_{k} \right \}, p_{j} \epsilon \left \{ p_{k} \right \} \rightarrow x \epsilon R" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?A&space;:&space;p_{i}&space;\epsilon&space;\left&space;\{&space;p_{k}&space;\right&space;\},&space;p_{j}&space;\epsilon&space;\left&space;\{&space;p_{k}&space;\right&space;\}&space;\rightarrow&space;x&space;\epsilon&space;R" /></p> <p style="text-align: justify;">Il legame fra la posizione e l'accelerazione sarà relativa fra la particella in esame ed ognuna delle particelle dell'universo:</p> <p style="text-align: justify; padding-left: 30px;"><img title="\frac{\partial^{2} S\left ( p_{i}, p_{j} \right )}{\partial t^{2}}" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{\partial^{2}&space;S\left&space;(&space;p_{i},&space;p_{j}&space;\right&space;)}{\partial&space;t^{2}}" /></p> <p style="text-align: justify;">A questo punto ricordiamoci che una particella - secondo Mach - si muove di moto rettilineo uniforme se la sua accelerazione media rispetto alle altre masse dell'universo è nulla. In questo modo un sistema inerziale sarà individuato dalla equazione:</p> <p style="text-align: justify; padding-left: 30px;"><img title="\frac{\partial^{2}}{\partial^{2} t}\left [ \frac{\sum _{i=1}^{n} m_{i} x_{i} }{\sum _{i=1}^{n} m_{i} } \right ] = 0" src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{\partial^{2}}{\partial^{2}&space;t}\left&space;[&space;\frac{\sum&space;_{i=1}^{n}&space;m_{i}&space;x_{i}&space;}{\sum&space;_{i=1}^{n}&space;m_{i}&space;}&space;\right&space;]&space;=&space;0" /></p> <p style="text-align: justify;">dove intervengono anche le masse delle altre particelle (l'equazione precedente rappresenta una media pesata). Come dice Mach la legge di inerzia è una descrizione condensata che coinvolge tutto l'universo.</p>
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