Vielbein - Relativity and other

Vielbein

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Forza entropica e supporto statistico

Consideriamo una massa sorgente M&nbsp;e una massa di prova m&nbsp;in un campo gravitazionale newtoniano. L&rsquo;energia potenziale meccanica della massa di prova &egrave;:
<img title="E(r)=-\frac{GMm}{r}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?E(r)=-\frac{GMm}{r}">
L&rsquo;obiettivo di questa nota&nbsp; &egrave; formulare una descrizione informazionale in cui tale energia venga letta come emergente da propriet&agrave; statistiche di un supporto (o schermo) che codifica il macrovincolo &ldquo;la particella si trova a distanza r&rdquo;. In questa costruzione la nozione di microstato del supporto &egrave; primaria, mentre la variabile r&nbsp;non &egrave; un microstato ma una variabile macroscopica che seleziona un insieme (o sottospazio) di microconfigurazioni compatibili. Si introducono quindi gradi di libert&agrave; microscopici del supporto, indicati collettivamente con y, tali che un microstato sia una configurazione completa <img title="y\in\Gamma" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?y\in\Gamma">, con <img title="\Gamma" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Gamma">&nbsp;insieme di tutti i microstati ammessi a priori. In un toy model a qubit, un microstato pu&ograve; essere rappresentato come una stringa di lunghezza N, <img title="y\in\left\{0,1\right\}^N" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?y\in\left\{0,1\right\}^N">, oppure, in linguaggio quantistico, come un vettore di una base computazionale <img title="|b_1 b_2\cdots b_N&gt;" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?|b_1&amp;space;b_2\cdots&amp;space;b_N&gt;">. Si implementa il passaggio da microdescrizione a macrodescrizione introducendo una mappa di coarse-graining
<img title="X:\Gamma\to\mathbb{R},\;\;X(y)=r" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?X:\Gamma\to\mathbb{R},\;\;X(y)=r">
che associa a ciascun microstato del supporto un valore macroscopico radiale. Il macrostato &ldquo;la particella &egrave; a r&rdquo; &egrave; allora definito come il sottoinsieme dei microstati che soddisfano il vincolo:
<img title="\Gamma_r=\left\{y\in\Gamma:X(y)=r\right\}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Gamma_r=\left\{y\in\Gamma:X(y)=r\right\}">
La quantit&agrave;&nbsp;<img title="|\Gamma_r|" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?|\Gamma_r|"> indica la cardinalit&agrave; dell&rsquo;insieme <img title="\Gamma_r" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Gamma_r">, cio&egrave; il numero di elementi che contiene. In particolare, se <img title="\Gamma_r" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Gamma_r"> &egrave; finito (come accade tipicamente nei toy model discreti), <img title="\Gamma_r" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Gamma_r">&nbsp;&egrave; un intero naturale che conta quanti microstati y&nbsp;sono compatibili col vincolo X(y)=r. Si definisce quindi
<img title="\Omega(r)=|\Gamma_r|" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Omega(r)=|\Gamma_r|">
come numero di microstati compatibili col macrostato r, e si introduce l&rsquo;entropia del supporto condizionata al macrovincolo nella forma boltzmanniana
<img title="S_{supp}(r)=k_b\ln\Omega(r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S_{supp}(r)=k_b\ln\Omega(r)">
Questa definizione esplicita che r&nbsp;individua una classe di equivalenza di microstati del supporto e che la dipendenza entropica da r&nbsp;&egrave;, in prima istanza, un problema di conteggio.
Per dare contenuto dinamico alla nozione di &ldquo;livelli energetici&rdquo; si introduce un&rsquo;Hamiltoniana del supporto&nbsp;H. Nel linguaggio classico discreto si pu&ograve; intendere <img title="H:\Gamma\to\mathbb{R}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H:\Gamma\to\mathbb{R}">&nbsp;come una funzione energia sullo spazio degli stati; nel linguaggio quantistico H &egrave; un operatore autoaggiunto su uno spazio di <img title="H_{supp}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_{supp}">&#8203;, con autovalori <img title="\epsilon_n" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\epsilon_n"> che definiscono i livelli energetici. Un livello <img title="\epsilon_n" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\epsilon_n">&#8203; &egrave; degenere se esistono pi&ugrave; stati ortogonali con lo stesso autovalore; la degenerazione &egrave; il numero di tali stati. In presenza del macrovincolo r, la degenerazione pu&ograve; dipendere da r&nbsp;perch&eacute; il vincolo seleziona solo una porzione dei microstati totali. Si introduce quindi una degenerazione condizionata scrivendo
<img title="g_n(r)=&amp;hash;\left\{y\in\Gamma_r:H(y)=\epsilon_n\right\}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?g_n(r)=&amp;hash;\left\{y\in\Gamma_r:H(y)=\epsilon_n\right\}">
il simbolo # {...} indica il numero degli elementi dell'insieme fra {}, ed &egrave; sinonimo di cardinalit&agrave;.
Pi&ugrave; formalmente, per un insieme&nbsp;A&nbsp;finito si ha #A&equiv;&#8739;A&#8739;. La scrittura <img title="H(y)=\epsilon_n" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H(y)=\epsilon_n">&#8203; va intesa come abbreviazione: in un modello classico discreto &egrave; letterale, mentre in un modello quantistico &egrave; pi&ugrave; naturale sostituirla con un vincolo di appartenenza a un sottospazio energetico. Introducendo il proiettore spettrale <img title="P_n" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?P_n"> associato al livello (o banda) energetico <img title="\epsilon_n" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\epsilon_n">, si pu&ograve; riscrivere concettualmente
<img title="g_n(r)=dim(P_n H_r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?g_n(r)=dim(P_n&amp;space;H_r)">
dove <img title="H_r\subseteq H_{supp}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_r\subseteq&amp;space;H_{supp}"> &egrave; il sottospazio compatibile col macrovincolo r, e 'dim&#8289;'&nbsp;denota la dimensione del sottospazio. Questo collega in modo diretto la nozione di degenerazione al conteggio dei microstati compatibili sia con il vincolo macroscopico sia con un vincolo energetico.
Assumendo una descrizione canonica del supporto a temperatura T (con <img title="\beta=1/k_bT" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\beta=1/k_bT">), la funzione di partizione condizionata assume la forma
<img title="Z(r,\beta)=\sum _n g_n(r)e^{-\beta\epsilon_n},\;\;\beta=\frac{1}{k_bT}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?Z(r,\beta)=\sum&amp;space;_n&amp;space;g_n(r)e^{-\beta\epsilon_n},\;\;\beta=\frac{1}{k_bT}">
da cui seguono la probabilit&agrave;:
<img title="p_n(r)=\frac{g_n(r)e^{-\beta\epsilon_n}}{Z(r,\beta(r))}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?p_n(r)=\frac{g_n(r)e^{-\beta\epsilon_n}}{Z(r,\beta(r))}">
l'energia interna del supporto:
<img title="U_{supp}(r)=&lt;\epsilon&gt;=\sum _n p_n(r)\epsilon_n" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?U_{supp}(r)=&lt;\epsilon&gt;=\sum&amp;space;_n&amp;space;p_n(r)\epsilon_n">
e l'entropia canonica:
<img title="S_{supp}(r)=k_b\left(\ln Z(r,\beta)+\beta U_{supp}(r)\right)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S_{supp}(r)=k_b\left(\ln&amp;space;Z(r,\beta)+\beta&amp;space;U_{supp}(r)\right)">
Un punto cruciale del modello riguarda quando sia lecito assumere che <img title="U_{supp}(r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?U_{supp}(r)"> sia (approssimativamente) indipendente da r, e quindi porre <img title="U_{supp}=U_0=0" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?U_{supp}=U_0=0">&nbsp;come scelta dello zero energetico senza alterare gradienti fisicamente rilevanti. Per analizzare questa condizione, si definisce la quantit&agrave;
<img title="\Phi_n(r)=\frac{\partial}{\partial r}\ln g_n(r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Phi_n(r)=\frac{\partial}{\partial&amp;space;r}\ln&amp;space;g_n(r)">
che misura la sensibilit&agrave; logaritmica della degenerazione del livello n&nbsp;rispetto a r. Si ottiene allora la relazione
<img title="\frac{dU_{supp}}{dr}=Cov(\epsilon,\Phi)=&lt;\epsilon\Phi&gt;-&lt;\epsilon&gt;&lt;\Phi&gt;" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{dU_{supp}}{dr}=Cov(\epsilon,\Phi)=&lt;\epsilon\Phi&gt;-&lt;\epsilon&gt;&lt;\Phi&gt;">
dove le medie sono calcolate con <img title="p_n(r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?p_n(r)">. La condizione Cov&#8289;(&epsilon;,&#981;)=0&nbsp;implica che la variazione delle degenerazioni con r&nbsp;non &egrave; correlata con l&rsquo;energia dei livelli, e quindi che il variare di r non &ldquo;sposta&rdquo; la distribuzione canonica verso energie diverse; in questo caso <img title="U_{supp}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?U_{supp}">&#8203; non dipende da r&nbsp;a &beta; fissata, mentre l&rsquo;eventuale dipendenza in r della termodinamica del supporto risiede nella molteplicit&agrave; dei microstati, ossia in <img title="S_{supp}(r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S_{supp}(r)">.
Per rendere concreto il legame tra numero di gradi di libert&agrave;, microstati e qubit, si adotta un toy model in cui il supporto &egrave; composto da N&nbsp;qubit. Ogni microstato &egrave; una stringa binaria completa
<img title="|b_1b_2\cdots b_N&gt;,\;\;\;b_i\in\left\{0,1\right\}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?|b_1b_2\cdots&amp;space;b_N&gt;,\;\;\;b_i\in\left\{0,1\right\}">
ed il numero massimo di microstati &egrave;:
<img title="\Omega_{max}(N)=2^N " src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Omega_{max}(N)=2^N&amp;space;">
che implica un'entropia massima:
<img title="S_{max}=k_b\ln\Omega(N)=k_b\ln 2^N=k_b N\ln 2" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S_{max}=k_b\ln\Omega(N)=k_b\ln&amp;space;2^N=k_b&amp;space;N\ln&amp;space;2">
Nel linguaggio olografico la crescita dei gradi di libert&agrave; con l&rsquo;area &egrave; implementata assumendo che il numero totale di qubit disponibili su una superficie sferica di raggio R&nbsp;soddisfi
<img title="N_{tot}(R)\propto A(R)=4\pi R^2" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?N_{tot}(R)\propto&amp;space;A(R)=4\pi&amp;space;R^2">
interpretazione che va intesa come capacit&agrave; informazionale complessiva dello schermo.
A questo punto occorre distinguere tra capacit&agrave; massima del supporto e microstati compatibili con un macrovincolo. La capacit&agrave; massima &egrave; controllata da <img title="N_{tot}(R)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?N_{tot}(R)"> e quindi da <img title="\Omega_{max}(R)=2^{N_{tot}(R)}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Omega_{max}(R)=2^{N_{tot}(R)}">, mentre il macrovincolo &ldquo;particella a r&rdquo; seleziona solo un sottospazio compatibile, la cui dimensione &egrave; &Omega;(r).
Per formalizzare il macrovincolo in modo operativo si introduce una decomposizione dello spazio di Hilbert del supporto basata sulla funzione del vincolo:
<img title="H_{supp}=H_{pos}\otimes H_{int}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_{supp}=H_{pos}\otimes&amp;space;H_{int}">
Qui <img title="H_{pos}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_{pos}">&#8203; &egrave; un registro che codifica la variabile macroscopica r&nbsp;in modo discreto, ad esempio mediante m qubit tali che <img title="dim(H_{pos})=2^m" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?dim(H_{pos})=2^m">, mentre <img title="H_{int}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_{int}"> contiene gli altri gradi di libert&agrave; microscopici del supporto. Il macrostato &ldquo;<img title="r=r_j" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?r=r_j">&rdquo; &egrave; implementato imponendo che il registro posizione sia nello stato <img title="|j&gt;_{pos}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?|j&gt;_{pos}">; tuttavia, affinch&eacute; l&rsquo;entropia dipenda non banalmente da r, si assume che la compatibilit&agrave; col macrovincolo restringa anche lo spazio interno, selezionando un sottospazio ammesso <img title="H_{int,amm}(r)\subseteq H_{int}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_{int,amm}(r)\subseteq&amp;space;H_{int}">&nbsp;la cui dimensione definisce
<img title="\Omega(r)=dim(H_{int,amm}(r))=2^{N_{int}(r)}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Omega(r)=dim(H_{int,amm}(r))=2^{N_{int}(r)}">
da cui segue:
<img title="S_{supp}(r)=k_b\ln 2 N_{int}(r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S_{supp}(r)=k_b\ln&amp;space;2&amp;space;N_{int}(r)">
Questa struttura rende esplicito che &ldquo;il supporto &egrave; fatto&rdquo; non solo di un numero totale di qubit che cresce come l&rsquo;area, ma anche di una regola che, al variare del macrovincolo r, determina quali e quanti gradi di libert&agrave; interni siano compatibili.
Per realizzare in modo trasparente il caso in cui <img title="U_{supp}(r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?U_{supp}(r)">&nbsp;sia indipendente da r, si introduce una seconda decomposizione, motivata non dal vincolo di posizione ma dalla dinamica energetica. Si scrive
<img title="H_{supp}=H_{E}\otimes H_{A}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_{supp}=H_{E}\otimes&amp;space;H_{A}">
dove <img title="H_E" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_E"> &egrave; il settore su cui l&rsquo;Hamiltoniana agisce non banalmente e che quindi porta lo spettro energetico, mentre <img title="H_A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_A"> &egrave; un settore ancillare che moltiplica le degenerazioni ma idealmente non contribuisce all&rsquo;energia. Il legame tra le due decomposizioni &egrave; che esse sono due &ldquo;cambi di base concettuali&rdquo; sullo stesso spazio&nbsp;<img title="H_{supp}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_{supp}">&#8203;: la prima decomposizione <img title="H_{pos}\otimes H_{int}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_{pos}\otimes&amp;space;H_{int}"> &egrave; una partizione funzionale rispetto al macrovincolo di posizione, <img title="H_E\otimes H_A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_E\otimes&amp;space;H_A">&#8203; &egrave; una partizione dinamica rispetto all&rsquo;energia. Una scelta naturale che le rende compatibili consiste nel collocare il registro di posizione dentro il settore ancillare, interpretando l&rsquo;informazione &ldquo;dove si trova la particella&rdquo; come un grado di libert&agrave; che non deve, nel modello minimale, cambiare lo spettro energetico. Si assume quindi una identificazione del tipo
<img title="H_A\simeq H_{pos}\otimes H_{A,rest}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_A\simeq&amp;space;H_{pos}\otimes&amp;space;H_{A,rest}">
dove <img title="H_{A,rest}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_{A,rest}"> &egrave; quello che avanza di <img title="H_A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_A"> una volta 'eliminato' <img title="H_{pos}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_{pos}">. Da questa scelta si ha anche che
<img title="H_{int}\simeq H_{E}\otimes H_{A,rest}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_{int}\simeq&amp;space;H_{E}\otimes&amp;space;H_{A,rest}">
e si ottiene:
<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" title="H_{pos}\simeq H_{pos}\otimes H_{int}\simeq H_{pos}\otimes(H_E\otimes H_{A,rest})\simeq H_E\otimes(H_{pos}\otimes H_{A,rest})=H_E\otimes H_A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_{pos}\simeq&amp;space;H_{pos}\otimes&amp;space;H_{int}\simeq&amp;space;H_{pos}\otimes(H_E\otimes&amp;space;H_{A,rest})\simeq&amp;space;H_E\otimes(H_{pos}\otimes&amp;space;H_{A,rest})=H_E\otimes&amp;space;H_A">
In questa cornice il macrovincolo &ldquo;r&rdquo; agisce imponendo condizioni nel fattore <img title="H_{pos}\subseteq H_A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_{pos}\subseteq&amp;space;H_A">&#8203;, mentre lo spettro energetico &egrave; trasportato da <img title="H_E" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_E">. La realizzazione minimale dell&rsquo;assenza di contributo energetico degli ancilla &egrave; data da un&rsquo;Hamiltoniana fattorizzata
<img title="H_{supp}=H_E\otimes I_A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_{supp}=H_E\otimes&amp;space;I_A">
Qui <img title="I_A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?I_A"> &egrave; l&rsquo;operatore identit&agrave; sullo spazio <img title="H_A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_A">&#8203;; se <img title="dim(H_A)=d_A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?dim(H_A)=d_A">, <img title="I_A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?I_A"> &egrave; la matrice identit&agrave; <img title="d_A x d_A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?d_A&amp;space;x&amp;space;d_A"> che lascia invariati gli stati ancillari. La forma <img title="H_E\otimes I_A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_E\otimes&amp;space;I_A"> significa che l&rsquo;energia dipende solo dai gradi di libert&agrave; in <img title="H_E" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_E">&#8203; e non distingue gli stati in <img title="H_A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_A">. In particolare, se <img title="|\alpha&gt;" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?|\alpha&gt;"> &egrave; un autostato di <img title="H_E" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_E"> con energia <img title="E_{\alpha}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?E_{\alpha}">&#8203; e <img title="|a&gt;\in H_A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?|a&gt;\in&amp;space;H_A">, allora
<img title="H_{supp}(|\alpha&gt;\otimes|a&gt;)=E_{\alpha}(|\alpha&gt;\otimes|a&gt;)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_{supp}(|\alpha&gt;\otimes|a&gt;)=E_{\alpha}(|\alpha&gt;\otimes|a&gt;)">
quindi ciascun livello energetico <img title="E_{\alpha}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?E_{\alpha}">&#8203; viene replicato <img title="dim(H_A)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?dim(H_A)">&#8203; volte, aumentando la degenerazione senza alterare gli autovalori. Se il macrovincolo seleziona un sottospazio ancillare ammesso <img title="H_{A,amm}\subseteq H_A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_{A,amm}\subseteq&amp;space;H_A">&#8203; di dimensione <img title="dim(H_{A,amm})=\Omega_A(r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?dim(H_{A,amm})=\Omega_A(r)">, allora la degenerazione del livello energetico <img title="\alpha" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\alpha">&nbsp;assume la forma fattorizzata
<img title="g_{\alpha}(r)=d_{\alpha}\Omega_A(r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?g_{\alpha}(r)=d_{\alpha}\Omega_A(r)">
con <img title="d_{\alpha}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?d_{\alpha}"> degenerazione intrinseca del livello in <img title="H_E" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_E">. In tal caso la dipendenza in r entra come fattore comune a tutti i livelli, condizione che rende naturale <img title="Cov(\epsilon,\Phi)=0" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?Cov(\epsilon,\Phi)=0"> e quindi <img title="U_{supp}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?U_{supp}">&#8203; indipendente da r&nbsp;a temperatura fissata.
Se ora supponiamo che la derivata entropica del supporto sia una costante stiamo imponendo un vincolo forte sulla struttura dei sottospazi comparibili. Assumendo:
<img title="\frac{dS_{supp}}{dr}=\sigma=cost" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{dS_{supp}}{dr}=\sigma=cost">
si ottiene:
<img title="S_{supp}(r)=\sigma r+S_0" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S_{supp}(r)=\sigma&amp;space;r+S_0">
e quindi:
<img title="\Omega(r)=exp\left(\frac{S_{supp}(r)}{k_b}\right)=\Omega_0 exp\left(\frac{\sigma r}{k_b}\right)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Omega(r)=exp\left(\frac{S_{supp}(r)}{k_b}\right)=\Omega_0&amp;space;exp\left(\frac{\sigma&amp;space;r}{k_b}\right)">
In termini di qubit effettivamente compatibili col macrovincolo
<img title="N_{int}(r)=\log_2\Omega(r)=\log_2\Omega_0+\frac{\sigma}{k_b\ln 2}r " src="https://latex.codecogs.com/svg.image?N_{int}(r)=\log_2\Omega(r)=\log_2\Omega_0+\frac{\sigma}{k_b\ln&amp;space;2}r&amp;space;">
da cui segue che una derivata entropica costante equivale a richiedere che il numero di qubit interni compatibili vari linearmente con r. Questa conseguenza strutturale convive con la legge di area <img title="N_{tot}(R)\propto R^2" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?N_{tot}(R)\propto&amp;space;R^2"> perch&eacute; <img title="N_{tot}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?N_{tot}"> descrive la capacit&agrave; massima disponibile sul supporto a raggio R, mentre <img title="N_{int}(r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?N_{int}(r)">&nbsp;descrive la dimensione del sottospazio effettivamente compatibile con il macrovincolo &ldquo;particella a r&rdquo;. Il vincolo di compatibilit&agrave; impone soltanto
<img title="N_{int}(r=R)\leq N_{tot}(R)-m" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?N_{int}(r=R)\leq&amp;space;N_{tot}(R)-m">
dove m &egrave; il numero di qubit del registro di posizione.
Se poi imponiamo il caso che il supporto sia lo schermo olografico e la variazione di entropia segua i risultati di Bekenstein:
<img title="\frac{dS_{supp}}{dr}=-\frac{2\pi k_b c m}{\hbar}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{dS_{supp}}{dr}=-\frac{2\pi&amp;space;k_b&amp;space;c&amp;space;m}{\hbar}">
da cui otteniamo che la temperatura &egrave; la temperatura di Unruh a raggio R, avremo che la conseguenza strutturale sul supporto &egrave; che la dimensione del sottospazio compatibile deve variare esponenzialmente su scala <img title="\lambda_C" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\lambda_C">:
<img title="\Omega(r)=\Omega_{*}exp(-\frac{2\pi}{\lambda_c}(r-r_{*}))" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Omega(r)=\Omega_{*}exp(-\frac{2\pi}{\lambda_c}(r-r_{*}))">
il numero di qubit interni effettivi decresce linearmente con&nbsp;r:
<img title="N_{int}(r)=N_{int}(r_*)-\frac{2\pi}{\ln 2}\frac{(r-r_*)}{\lambda_C}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?N_{int}(r)=N_{int}(r_*)-\frac{2\pi}{\ln&amp;space;2}\frac{(r-r_*)}{\lambda_C}">
In conclusione abbiamo caratterizzato meglio in cosa consista il supporto nell'ipotesi che la sua energia interna sia costante. Abbiamo brevemente descritto l&rsquo;insieme di microstati compatibili col macrovincolo e l&rsquo;insieme ulteriormente filtrato da un vincolo energetico. Abbiamo stabilito i livelli energetici come gli autovalori dell&rsquo;Hamiltoniana ed indicato come le degenerazioni contano quanti microstati condividono lo stesso livello e la loro dipendenza da&nbsp;r codifica l&rsquo;effetto del macrovincolo. Abbiamo introdotto la decomposizione&nbsp;<img title="H_{pos}\otimes H_{int}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_{pos}\otimes&amp;space;H_{int}">&#8203; che esplicita il registro di posizione e i gradi di libert&agrave; interni al supporto, ed inoltre la decomposizione <img title="H_E\otimes H_A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_E\otimes&amp;space;H_A">&#8203; che implementa il settore energetico e quello ancillare. Il legame tra le decomposizioni &egrave; ottenuto identificando il registro di posizione come sottosistema del settore ancillare;&nbsp;<img title="I_A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?I_A">&#8203; &egrave; l&rsquo;identit&agrave; su <img title="H_A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H_A"> e implementa l&rsquo;ipotesi che gli ancilla moltiplichino le degenerazioni senza contribuire all&rsquo;energia.