Vielbein - Relativity and other

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Forza Entropica e Energia Libera di Helmholtz - II

In una nota precedente avevamo analizzato la relazione che intercorre fra la forza entropica e l'energia libera di Helmoltz, mostrando come a partire dalla definizione di quest'ultima:
<img title="F_{free}=U-T\cdot S" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?F_{free}=U-T\cdot&amp;space;S">
dove U &egrave; l'energia interna del sistema, T la sua temperatura costante ed S la sua entropia, si ottenga la forza come la derivata rispetto ad uno spostamento dell'energia libera:
<img title="F=-\frac{dF_{free}}{dx}=-\frac{d(U-T\cdot S)}{dx}=-\frac{dU}{dx}+T\cdot\frac{dS}{dx}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?F=-\frac{dF_{free}}{dx}=-\frac{d(U-T\cdot&amp;space;S)}{dx}=-\frac{dU}{dx}+T\cdot\frac{dS}{dx}">
Si osservi che il primo termine &egrave; la classica forza ottenuta da una energia 'meccanica', mentre solo il secondo termine &egrave; una quantit&agrave; puramente entropica. Da questo si deduce che la forza &egrave; entropica solo se &egrave; assente la parte di energia interna, cosa che in termodinamica pu&ograve; essere ammessa.
Se per&ograve; ci limitiamo al caso di un'energia puramente meccanica come &egrave; l'energia potenziale in un campo gravitazionale, la classica definizione di forza come gradiente del potenziale &egrave; valida solo se &egrave; assente il termine entropico.&nbsp;
Ci troviamo dunque in una aporia, in quanto da un lato vogliamo che la forza gravitazionale sia entropica, e dall'altro abbiamo un ragionamento termodinamico che ce lo impedisce. In questa nota vogliamo cercare di superare questa difficolt&agrave;.
Il problema &egrave; costruire un modello informazionale in cui la sola variabile macroscopica rilevante sia r, interpretata come macrovincolo sulla configurazione di un &ldquo;supporto&rdquo; statistico (ambiente/schermo/gradi di libert&agrave; effettivi) che codifica la l&rsquo;energia meccanica <img title="E_{mecc}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?E_{mecc}"> e che questa&nbsp;sia identificata, a segno e costanti additive fissate, con l&rsquo;energia libera di Helmholtz del supporto.
Per ogni valore di r&nbsp;si assume che il supporto ammetta una descrizione canonica condizionata dal macrovincolo &ldquo;la particella &egrave; a distanza r&rdquo;. I microstati del supporto sono raggruppati in livelli energetici <img title="\epsilon_{n}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\epsilon_{n}"> dotati di degenerazioni <img title="g_n(r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?g_n(r)">&nbsp;dipendenti da r, che contano quanti microstati realizzano l&rsquo;energia <img title="\epsilon_n" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\epsilon_n"> compatibilmente con il vincolo. La funzione di partizione &egrave; dunque:
<img title="Z(r,\beta)=\sum _n g_n(r)e^{-\beta\epsilon_n},\;\;\beta=\frac{1}{k_bT}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?Z(r,\beta)=\sum&amp;space;_n&amp;space;g_n(r)e^{-\beta\epsilon_n},\;\;\beta=\frac{1}{k_bT}">
la probabilit&agrave; canonica del livello n, condizionata da r &egrave;:
<img title="p_n(r)=\frac{g_n(r)e^{-\beta\epsilon_n}}{Z(r,\beta(r))}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?p_n(r)=\frac{g_n(r)e^{-\beta\epsilon_n}}{Z(r,\beta(r))}">
tramite essa si definisce l'energia interna del supporto:
<img title="U_{supp}(r)=&lt;\epsilon&gt;=\sum _n p_n(r)\epsilon_n" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?U_{supp}(r)=&lt;\epsilon&gt;=\sum&amp;space;_n&amp;space;p_n(r)\epsilon_n">
la sua Energia libera di helmoltz:
<img title="F_{supp}(r)=-k_b T(r)\ln Z(r,\beta(r))" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?F_{supp}(r)=-k_b&amp;space;T(r)\ln&amp;space;Z(r,\beta(r))">
e l'entropia canonica:
<img title="S_{supp}(r)=k_b\left(\ln Z(r,\beta(r))+\beta(r)U_{supp}(r)\right)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S_{supp}(r)=k_b\left(\ln&amp;space;Z(r,\beta(r))+\beta(r)U_{supp}(r)\right)">
che soddisfano la relazione:
<img title="F_{supp}(r)=U_{supp}(r)-T(r)S_{supp}(r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?F_{supp}(r)=U_{supp}(r)-T(r)S_{supp}(r)">
L&rsquo;ipotesi informazionale fondamentale che collega meccanica e supporto consiste nell&rsquo;identificazione dell&rsquo;energia meccanica con (l&rsquo;opposto di) una free energy del supporto, a costante additiva fissata:
<img title="E_{mecc}(r)=-F_{supp}(r)+cost" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?E_{mecc}(r)=-F_{supp}(r)+cost">
Si noti inoltre che la costante pu&ograve; essere annullata, in quanto non altera i gradienti e quindi non influenza la dinamica.
Per fare si che la derivata dell'energia meccanica sia puramente entropica dobbiamo specificare le condizioni in cui:
<img title="U_{supp}(r)=U_0=cost" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?U_{supp}(r)=U_0=cost">
Una condizione sufficiente in cui tale equazione sia verificata, semplice e fisicamente trasparente, &egrave; che la dipendenza da r&nbsp;dei conteggi microstatistici fattorizzi come moltiplicatore globale indipendente dal livello energetico,
<img title="g_n(r)=g(r)\widetilde{g_n}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?g_n(r)=g(r)\widetilde{g_n}">
In tale caso:
<img title="Z(r,\beta(r))=g(r)\sum_n\widetilde{g_n}e^{-\beta(r)\epsilon_n}=g(r)\widetilde{Z}(\beta)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?Z(r,\beta(r))=g(r)\sum_n\widetilde{g_n}e^{-\beta(r)\epsilon_n}=g(r)\widetilde{Z}(\beta)">
e quindi:
<img title="p_n(r)=\frac{g(r)\widetilde{g_n}e^{-\beta\epsilon_n}}{g(r)\widetilde{Z}(\beta)}=\frac{\widetilde{g_n}e^{-\beta\epsilon_n}}{\widetilde{Z}(\beta)}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?p_n(r)=\frac{g(r)\widetilde{g_n}e^{-\beta\epsilon_n}}{g(r)\widetilde{Z}(\beta)}=\frac{\widetilde{g_n}e^{-\beta\epsilon_n}}{\widetilde{Z}(\beta)}">
da cui segue che <img title="p_n(r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?p_n(r)"> &egrave; in realt&agrave; indipendente da r e dunque:
<img title="U_{supp}(r)\sum_n p_n\epsilon_n=U_0" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?U_{supp}(r)\sum_n&amp;space;p_n\epsilon_n=U_0">
non varia con r. Pi&ugrave; in generale, la costanza di <img title="U_{supp}(r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?U_{supp}(r)">&nbsp;rimane una buona approssimazione quando la variazione di r&nbsp;non induce una redistribuzione selettiva tra energie diverse; una forma compatta di tale requisito &egrave; la trascurabilit&agrave; della correlazione tra energia e sensibilit&agrave; del conteggio microstatistico a r:
<img title="Cov(\epsilon,\Phi)=0,\;\;\Phi=\partial_r\ln g_n(r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?Cov(\epsilon,\Phi)=0,\;\;\Phi=\partial_r\ln&amp;space;g_n(r)">
In parole fisiche, il vincolo geometrico/informazionale cambia principalmente la molteplicit&agrave; dei microstati compatibili, senza modificare significativamente l&rsquo;energia media immagazzinata dal supporto.
Con questo impianto si ha infine:
<img title="E_{mecc}(r)=-F_{free}(r)=-U_0+T(r)S(r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?E_{mecc}(r)=-F_{free}(r)=-U_0+T(r)S(r)">
Essendo <img title="U_0" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?U_0">&nbsp;costante, pu&ograve; essere assorbita nello zero energetico e si ottiene la relazione operativa
<img title="E_{mecc}(r)=-F_{free}(r)=T(r)S(r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?E_{mecc}(r)=-F_{free}(r)=T(r)S(r)">
che permette di vedere l'energia meccanica - e quindi la forza ad essa associata - come puramente entropica