Vielbein - Relativity and other

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Informazione e gravita entropica - V

Consideriamo il solito schermo ologafico posizionato a r= R come un sistema di N gradi di libert&agrave;. In fisica statistica l'entropia &egrave; definita dal numero di microstati <img title="\Omega " src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Omega&amp;space;"> accessibili per una data energia E:
<img title="S(E)=k_b\ln\Omega(E)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S(E)=k_b\ln\Omega(E)">
Per un sistema che segue il teorema di equipartizione dell'energia, il volume dello spazio delle fasi <img title="\Omega " src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Omega&amp;space;"> cresce con l'energia secondo una legge di potenza:
<img title="\Omega(E)\propto E^{f/2}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Omega(E)\propto&amp;space;E^{f/2}">
dove f &egrave; il numero di gradi di libert&agrave;; nel nostro caso abbiamo f = N.
Da questa considerazione segue:
<img title="S(E)=k_b\ln\left(C E^{N/2}\right)=\frac{N}{2}k_b\ln E+cost" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S(E)=k_b\ln\left(C&amp;space;E^{N/2}\right)=\frac{N}{2}k_b\ln&amp;space;E+cost">
Utilizziamo ora il metodo dei moltiplicatori di Lagrange cercando di massimizzare l'entropia S(E) imponendo il vincolo energetico:
<img title="g(E)=E-Mc^2" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?g(E)=E-Mc^2">
La Lagrangiana in questo caso diviene:
<img title="L(E,\lambda)=\left(\frac{N}{2}k_b\ln E\right)-\lambda\left(E-Mc^2\right)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?L(E,\lambda)=\left(\frac{N}{2}k_b\ln&amp;space;E\right)-\lambda\left(E-Mc^2\right)">
Imponiamo ora la condizione di stazionariet&agrave;:
<img title="\frac{\partial L}{\partial E}=0\Rightarrow\frac{N k_b}{2E}-\lambda=0" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{\partial&amp;space;L}{\partial&amp;space;E}=0\Rightarrow\frac{N&amp;space;k_b}{2E}-\lambda=0">
da cui deduciamo il moltiplicatore di lagrance:
<img title="\lambda=\frac{N k_b}{2E}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\lambda=\frac{N&amp;space;k_b}{2E}">
Se osserviamo le dimensioni di <img title="\lambda " src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\lambda&amp;space;"> notiamo che sono quelle di un inverso di una temperatura, quindi possiamo definire T come:
<img title="T=\frac{1}{\lambda}=\frac{2E}{Nk_b}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?T=\frac{1}{\lambda}=\frac{2E}{Nk_b}">
che &egrave; l'equazione di equipartizione, ma in questo caso emersa come condizione di massimizzazione di un vincolo.
Ora che conosciamo T in funzione di E ed N possiamo andare a sostituire i valori:
<img title="E=Mc^2\;\;\;\;N=\frac{A}{l^2_p}=\frac{4\pi R^2 c^3}{G\hbar}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?E=Mc^2\;\;\;\;N=\frac{A}{l^2_p}=\frac{4\pi&amp;space;R^2&amp;space;c^3}{G\hbar}">
Otteniamo dunque in T:
<img title="T=\frac{G M\hbar}{2\pi R^2 c k_b}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?T=\frac{G&amp;space;M\hbar}{2\pi&amp;space;R^2&amp;space;c&amp;space;k_b}">
Se ora consideriamo questa temperatura dello schermo come la temperatura di Unruh abbiamo la relazione:
<img title="T=\frac{\hbar g}{2\pi k_b c}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?T=\frac{\hbar&amp;space;g}{2\pi&amp;space;k_b&amp;space;c}">
sostituendo il valore di T:
<img title="\frac{G M\hbar}{2\pi R^2 c k_b}=\frac{\hbar g}{2\pi k_b c}\Rightarrow g=\frac{GM}{R^2}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{G&amp;space;M\hbar}{2\pi&amp;space;R^2&amp;space;c&amp;space;k_b}=\frac{\hbar&amp;space;g}{2\pi&amp;space;k_b&amp;space;c}\Rightarrow&amp;space;g=\frac{GM}{R^2}">
dove g &egrave; l'accelerazione che subirebbe una massa nelle vicinanze dello schermo.
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