Vielbein - Relativity and other

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Informazione e gravita entropica - III

Si considera una configurazione sfericamente simmetrica con una massa sorgente M posta al centro. Si introduce una superficie sferica di raggio R, detta schermo olografico, intesa come interfaccia su cui &egrave; codificata l&rsquo;informazione accessibile dall&rsquo;esterno. L&rsquo;ipotesi olografica suggerisce che il numero di gradi di libert&agrave; 'scali' con l&rsquo;area della superficie e non con il volume racchiuso. Si rappresenta questa idea assegnando allo schermo un numero efficace di &ldquo;bit&rdquo; N(R) proporzionale all'are <img title="A=4\pi R^2" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?A=4\pi&amp;space;R^2">. Una scelta standard, coerente dimensionalmente e frequentemente adottata nella gravit&agrave; entropica, &egrave;:
<img title="N(R)=\frac{A(R)c^3}{G\hbar}=\frac{4\pi R^2 C^3}{G\hbar}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?N(R)=\frac{A(R)c^3}{G\hbar}=\frac{4\pi&amp;space;R^2&amp;space;C^3}{G\hbar}">
Tale relazione va intesa come conteggio efficace dei gradi di libert&agrave; microscopici associati alla geometria del bordo. Lo schermo, in quanto sistema termodinamico efficace, possiede un&rsquo;entropia geometrica massima identificabile con l&rsquo;entropia di Bekenstein&ndash;Hawking. Si pone allora:
<img title="S_{BH}(R)=\frac{k_b c^3}{4 G\hbar}A(R)=\frac{\pi k_b c^3}{G\hbar}R^2" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S_{BH}(R)=\frac{k_b&amp;space;c^3}{4&amp;space;G\hbar}A(R)=\frac{\pi&amp;space;k_b&amp;space;c^3}{G\hbar}R^2">
Questa quantit&agrave; misura la degenerazione massima dei possibili stati interni del bordo compatibili con la sola informazione macroscopica &ldquo;esiste una regione delimitata dalla superficie&rdquo; (si noti infatti che non dipende dalla massa interna M).
Si introduca ora una particella di prova di massa m e e si distingua tra il raggio dello schermo R e la coordinata radiale della particella r. Per descrivere lo spostamento della particella rispetto allo schermo &egrave; utile definire la distanza:
<img title="x=R-r" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?x=R-r">
che risulta nulla quando la particella &egrave; sullo schermo, positiva quando la particella &egrave; interna alla sfera di raggio R, negativa quando la particella si trova esterna allo schermo olografico.
La dinamica che si intende descrivere riguarda come varia l&rsquo;informazione, e quindi l&rsquo;entropia efficace, dello schermo al variare della configurazione macroscopica determinata da x. Si assume che l&rsquo;entropia totale del sistema &ldquo;schermo + sorgente + particella&rdquo; sia decomponibile come somma di un contributo geometrico e di un contributo associato alla particella:
<img title="S_{tot}(R,x)=S_{BH}(R)+\delta S(x)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S_{tot}(R,x)=S_{BH}(R)+\delta&amp;space;S(x)">
Il termine <img title="S_{BH}(R)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S_{BH}(R)"> dipende solo dal raggio dello schermo e rappresenta la capacit&agrave; informazionale geometrica del bordo; il termine <img title="\delta S(x)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\delta&amp;space;S(x)"> descrive invece la variazione entropica dovuta alla macro-configurazione della particella rispetto allo schermo.
La forza sulla particella &egrave; associata alla variazione dell&rsquo;energia libera rispetto a x&nbsp;a schermo fissato, cio&egrave; con R mantenuto costante durante la variazione. In tale senso la derivata rilevante &egrave;:
<img title="\left(\frac{\partial S_{tot}}{\partial x}\right)_R=\left(\frac{\partial\delta S}{\partial x}\right)_R" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\left(\frac{\partial&amp;space;S_{tot}}{\partial&amp;space;x}\right)_R=\left(\frac{\partial\delta&amp;space;S}{\partial&amp;space;x}\right)_R">
perch&egrave; <img title="S_{BH}(R)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S_{BH}(R)"> non dipende da x.
Per completare il quadro serve una temperatura efficace dello schermo non arbitraria, ma determinata da M e da R. Se supponiamo che l'energia contenuta all'interno dello schermo olografico sia <img title="E=M c^2" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?E=M&amp;space;c^2"> ed utilizziamo il teorema di equipartizione dell'energia:
<img title="E=M c^2=\frac{1}{2}N(R)k_b T(R)=\frac{1}{2}\left(\frac{4\pi R^2 c^3}{G\hbar}\right)k_b T(R)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?E=M&amp;space;c^2=\frac{1}{2}N(R)k_b&amp;space;T(R)=\frac{1}{2}\left(\frac{4\pi&amp;space;R^2&amp;space;c^3}{G\hbar}\right)k_b&amp;space;T(R)">
da cui si ricava:
<img title="T(R)=\frac{G M\hbar}{2\pi R^2 c k_b}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?T(R)=\frac{G&amp;space;M\hbar}{2\pi&amp;space;R^2&amp;space;c&amp;space;k_b}">
che &egrave; la temperatura di Unruh per una particella accelerata da un campo gravitazionale:
<img title="T(R)=\frac{\hbar a(R)}{2\pi k_b c}\Rightarrow a(R)=\frac{G M}{R^2}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?T(R)=\frac{\hbar&amp;space;a(R)}{2\pi&amp;space;k_b&amp;space;c}\Rightarrow&amp;space;a(R)=\frac{G&amp;space;M}{R^2}">
In tal modo l&rsquo;accelerazione newtoniana emerge come accelerazione associata allo schermo tramite equipartizione e quantizzazione olografica dei gradi di libert&agrave;.
Resta ora da collegare lo spostamento della particella a una variazione entropica <img title="\delta S(x)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\delta&amp;space;S(x)">. &nbsp;Il contenuto fisico di questa variazione &egrave; che cambiare x richiede una riorganizzazione dei gradi di libert&agrave; del bordo che codificano la macro-informazione &ldquo;posizione della particella a x&rdquo;. Si assume, in linea con l&rsquo;argomento di Bekenstein per traslazioni rispetto a un orizzonte, una variazione entropica lineare nella distanza:
<img title="\frac{d\delta S}{dx}=\frac{2\pi k_b m c}{\hbar}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{d\delta&amp;space;S}{dx}=\frac{2\pi&amp;space;k_b&amp;space;m&amp;space;c}{\hbar}">
che introduce una scala quantistica legata alla lunghezza di Compton <img title="\lambda_C=\frac{\hbar}{mc}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\lambda_C=\frac{\hbar}{mc}"> e determina quanta entropia varia per unit&agrave; di spostamento. Integrando si ottiene:
<img title="\delta S(x)=\frac{2\pi k_b m c}{\hbar}x+cost" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\delta&amp;space;S(x)=\frac{2\pi&amp;space;k_b&amp;space;m&amp;space;c}{\hbar}x+cost">
Si definisce quindi la molteplicit&agrave; W(x) associata alla macroconfigurazione fissata da x come:
<img title="\delta S(x)=k_b\ln W(x)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\delta&amp;space;S(x)=k_b\ln&amp;space;W(x)">
Ne segue che:
<img title="W(x)=W_0\exp{\left(\frac{\delta S(x)}{k_b}\right)}=W_0\exp{\left(\frac{2\pi m c}{k_b}x\right)}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?W(x)=W_0\exp{\left(\frac{\delta&amp;space;S(x)}{k_b}\right)}=W_0\exp{\left(\frac{2\pi&amp;space;m&amp;space;c}{k_b}x\right)}">
che ricordiamo non essere una densit&agrave; di probabilit&agrave;, in quanto non normalizzata. Essa &egrave; un fattore di degenerazione relativo che misura quanti stati interni del bordo sono compatibili con la macro-informazione &ldquo;la particella &egrave; a distanza x&rdquo;.&nbsp;Il significato operativo &egrave; che il rapporto <img title="W(x_2)/W(x_1)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?W(x_2)/W(x_1)"> quantifica di quanto cambia il numero di configurazioni disponibili dello schermo passando da una configurazione macroscopica all&rsquo;altra:
<img title="\frac{W(x_2)}{W(x_1)}=\exp{\left(\frac{2\pi m c}{k_b}(x_2-x_1)\right)}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{W(x_2)}{W(x_1)}=\exp{\left(\frac{2\pi&amp;space;m&amp;space;c}{k_b}(x_2-x_1)\right)}">
Passiamo ora alla forza entropica, che &egrave; definita come risposta a un gradiente entropico in presenza di temperatura. Si consideri l'energia libera definita come:
<img title="F_{free}=U-TS" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?F_{free}=U-TS">
e prendiamo in esame il caso in cui l'energia interna U non dipenda da x; in questo caso la forza in tale direzione &egrave;:
<img title="F_x=\frac{dF_{free}}{dx}=-T\frac{dS}{dx}=-T(R)\frac{d\delta S(x)}{dx}=-G\frac{GM}{R^2}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?F_x=\frac{dF_{free}}{dx}=-T\frac{dS}{dx}=-T(R)\frac{d\delta&amp;space;S(x)}{dx}=-G\frac{GM}{R^2}">
dove si sono sostituiti i valori determinati in precedenza. Questa &egrave; precisamente la legge di Newton per la forza esercitata alla distanza R. Per esprimere la forza in funzione della coordinata radiale r della particella, si adotta l&rsquo;ipotesi locale secondo cui lo schermo rilevante per descrivere la dinamica al raggio r &egrave; lo schermo posto a &#119877; &#8771; &#119903;; segue allora
<img title="F(r)=\frac{GMm}{r^2}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?F(r)=\frac{GMm}{r^2}">
In questo senso la gravit&agrave; emerge come effetto entropico di un gradiente di degenerazione informazionale, con la temperatura fissata da equipartizione e olografia.
La decomposizione:
<img title="S_{tot}(R,x)=S_{BH}(R)+\delta S(x)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S_{tot}(R,x)=S_{BH}(R)+\delta&amp;space;S(x)">
ammette una lettura fisica diretta: <img title="S_{BH}(R)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S_{BH}(R)"> stabilisce la capacit&agrave; informazionale geometrica del bordo, mentre <img title="\delta S(x)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\delta&amp;space;S(x)"> quantifica la variazione di entropia associata alla codifica della particella. Il contributo geometrico pu&ograve; essere visto come degenerazione di fondo dello schermo, mentre il contributo della particella seleziona un sottoinsieme di configurazioni compatibili con la macro-informazione aggiuntiva &ldquo;posizione della particella a x".
Questa valutazione ci permette di passare ad una interpretazione dell'argomento puramente informazionale (nel senso di Shannon). Si introduce una variabile aleatoria <img title="\Sigma " src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Sigma&amp;space;"> he rappresenta lo stato interno dello schermo e una variabile aleatoria X che rappresenta la distanza x della particella. L&rsquo;entropia di Shannon in bit associata allo schermo &egrave; <img title="H(\Sigma)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H(\Sigma)"> , mentre l'entropia condizionata dato X = x &egrave; <img title="H(\Sigma|X=x)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H(\Sigma|X=x)">. Nel caso in cui, fissato x, gli stati interni compatibili siano approssimativamente equiprobabili su un sottoinsieme, vale la relazione di conteggio
<img title="H(\Sigma|X=x)=\log_2 W(x)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?H(\Sigma|X=x)=\log_2&amp;space;W(x)">
La corrispondenza con l&rsquo;entropia termodinamica &egrave; un cambio di unit&agrave;:
<img title="S(x)=(k_b\ln 2)H(\Sigma|X=x)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S(x)=(k_b\ln&amp;space;2)H(\Sigma|X=x)">
derivando rispetto a x si ottiene:
<img title="\frac{dS}{dx}=k_b\ln 2\frac{dH}{dx}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{dS}{dx}=k_b\ln&amp;space;2\frac{dH}{dx}">
e la forza entropica diviene:
<img title="F_x=T(R)k_b\ln 2\frac{dH}{dx}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?F_x=T(R)k_b\ln&amp;space;2\frac{dH}{dx}">
Questa forma rende trasparente l&rsquo;interpretazione energetico-informazionale. Il fattore <img title="k_b T(R)\ln 2 " src="https://latex.codecogs.com/svg.image?k_b&amp;space;T(R)\ln&amp;space;2&amp;space;">&nbsp; ha le dimensioni di un energia e rappresenta l'energia termica per bit; il fattore <img title="dH/dx" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?dH/dx"> &egrave; un gradiente informazionale in bit per unit&agrave; di lunghezza.
La forza risulta essere il prodotto tra costo energetico per bit e variazione di bit richiesta per spostamento unitario, cio&egrave; un costo energetico per unit&agrave; di spostamento. Il collegamento con l&rsquo;informazione fisica &egrave; reso esplicito dal principio di Landauer, secondo cui l&rsquo;operazione irreversibile di cancellazione di un bit richiede almeno
<img title="E_{bit}=k_b T\ln 2" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?E_{bit}=k_b&amp;space;T\ln&amp;space;2">
Anche quando non si parla di cancellazione in senso computazionale stretto il termine <img title="k_b T\ln 2 " src="https://latex.codecogs.com/svg.image?k_b&amp;space;T\ln&amp;space;2&amp;space;"> fornisce una scala energetica naturale che converte variazioni di entropia di Shannon in energia. Il lavoro meccanico lungo dx pu&ograve; essere scritto come:
<img title="dW_{mecc}=F_x dx=(k_b T(R)\ln 2)dH " src="https://latex.codecogs.com/svg.image?dW_{mecc}=F_x&amp;space;dx=(k_b&amp;space;T(R)\ln&amp;space;2)dH&amp;space;">
ossia l&rsquo;energia richiesta per aggiornare dH bit di informazione correlata alla configurazione della particella sul bordo.
<div style="text-align: justify;">Il risultato complessivo &egrave; che W(r) va interpretata come molteplicit&agrave; relativa di configurazioni dello schermo compatibili con la macro-configurazione della particella, <img title="S_{BH}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S_{BH}">&nbsp;come capacit&agrave; informazionale geometrica del bordo, e la forza gravitazionale come manifestazione macroscopica del costo energetico necessario a sostenere e aggiornare informazione in un sistema olografico con temperatura effettiva fissata dall&rsquo;accelerazione.</div>