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Some notes on Relativity and other arguments
Frigg - Models and Theories - Models in the Received View
<p style="text-align: justify;">Il capito "<em>Models in the Received View</em>" del saggio <strong>Models and Theories</strong> di Roman Frigg ha come obiettivo chiarire che cosa si intenda per “modello” quando si discute la concezione ricevuta delle teorie e, più in generale, come i modelli entrino nella ricostruzione logica delle teorie scientifiche. La difficoltà iniziale è che “modello” non è un termine univoco, e il capitolo lavora per separare usi diversi che spesso vengono confusi.</p> <p style="text-align: justify;">Una distinzione decisiva è fra modelli come strumenti di rappresentazione e modelli come oggetti della semantica logica, cioè interpretazioni del formalismo. Nel quadro della Received View, l’idea centrale è che una teoria sia formulata (o almeno ricostruibile) come un insieme di frasi/assiomi in un linguaggio formale. In quel contesto, parlare di “modelli” significa soprattutto parlare di ciò che rende vere quelle frasi, cioè delle interpretazioni in cui gli assiomi risultano soddisfatti. Per capire questa nozione, Frigg introduce gli ingredienti base della semantica standard: strutture, domini e relazioni. La mossa è set-teorica: invece di pensare alle relazioni come a “qualcosa di misterioso che lega cose”, si stabilisce che una relazione n-aria può essere trattata come un insieme di n-uple ordinate. Questa scelta porta con sé un’idea precisa di estensione. Per “<em>estensione</em>” di una relazione si intende l’insieme (cioè la collezione) di tutte e sole le n-uple di oggetti del dominio per cui la relazione vale. <br>Se la relazione è binaria, la sua estensione è un insieme di coppie ordinate; se è ternaria, un insieme di triple, e così via. Dire che una relazione è definita “estensionalmente” significa proprio questo: tutto ciò che conta, ai fini della teoria delle strutture, è quali n-uple appartengono alla sua estensione. Perciò, dal punto di vista puramente formale, due relazioni “molto diverse” nel contenuto possono risultare dello stesso tipo se hanno estensioni con le stesse proprietà formali.</p> <p style="text-align: justify;">Frigg fa notare che, con relazioni estensionali, non si specifica “che cosa sia intrinsecamente” la relazione, né “che cosa siano intrinsecamente” gli oggetti. Conta soltanto la struttura dell’estensione, cioè la forma del pattern di appartenenza delle n-uple. È per questo che le proprietà delle relazioni vengono intese come proprietà formali, cioè proprietà che dipendono dall’estensione. <br>Un esempio è l’asimettria: una relazione binaria è asimmetrica se, quando una coppia (a,b) è nella sua estensione, la coppia “invertita” (b,a) non lo è. <br>L’importante è che la nozione di asimmetria si formula senza nominare alcun contenuto concreto: basta guardare la struttura dell’estensione.</p> <p style="text-align: justify;">Definita così la nozione di relazione, l'autore passa a definire una struttura. Una struttura è presentata come un’entità composta da un dominio non vuoto U e da un insieme indicizzato (una lista ordinata) R di relazioni su U. L’indicizzazione serve perché le relazioni non sono “solo presenti”: sono etichettate, così da poter dire quale relazione occupa quale posto nella lista. Questa precisione sarà fondamentale quando si discuterà l’isomorfismo tra strutture, cioè il criterio standard per dire che due strutture hanno la stessa forma.</p> <p style="text-align: justify;">Frigg insiste che queste strutture, così definite, sono “astratte” o “matematiche” nel senso che consistono di oggetti-segnaposto e relazioni definite estensionalmente. In altri termini, una struttura astratta non è ancora un “pezzo di mondo”: è un oggetto matematico pronto a essere usato per interpretare un linguaggio. A questo punto la connessione con le teorie diventa più netta: <strong>dati gli assiomi di una teoria, un “modello” (nel senso logico) è una struttura in cui quegli assiomi risultano veri</strong>. Quindi il modello non è, in prima istanza, una “miniatura del mondo”, ma una realizzazione strutturale che soddisfa certe condizioni. <br>Questa prospettiva chiarisce perché, nella Received View, la discussione sui modelli passi spesso attraverso la logica e la semantica piuttosto che attraverso immagini o analogie. <br>Frigg però non nasconde un punto di tensione: anche quando si parla di modelli logici, si finisce spesso per evocare un “modello privilegiato” che la teoria voleva catturare. Qui entra in gioco il concetto di <em>modello inteso</em>. <br>Per “modello inteso” si intende quel particolare modello/struttura che gli autori della teoria avevano in mente come interpretazione corretta o bersaglio matematico della teoria. È, per così dire, il modello che la teoria mira a descrivere “di proposito”, non solo uno fra i tanti che la logica consente. Il capitolo usa l’aritmetica come caso guida perché rende palpabile questa differenza fra ciò che una teoria intende e ciò che la sua forma logica consente. <br>Si consideri l’aritmetica dei numeri naturali e una sua assiomatizzazione classica, l’Aritmetica di Peano formulata in logica del primo ordine. I numeri naturali costituiscono un modello della teoria, e sono anche il suo modello inteso, perché gli assiomi vengono costruiti esplicitamente per descrivere proprio quei numeri. Il punto cruciale è che, nonostante questa intenzione, la teoria ha anche altri modelli, prodotti “come effetto collaterale” della logica adottata.</p> <p style="text-align: justify;">Per capire perché ciò accada, Frigg introduce due risultati-limitazione della logica del primo ordine. Il primo è il <strong>teorema di Löwenheim–Skolem</strong>, che implica che una teoria del primo ordine con un modello infinito non può controllare la cardinalità dei suoi modelli infiniti. In termini intuitivi, se la teoria ha un modello infinito di una certa grandezza, allora ne avrà anche di molte altre grandezze infinite. Applicato a Peano, ciò significa che oltre al modello “standard” numerabile (i naturali) esistono modelli di altre cardinalità infinite. <br>Questi modelli aggiuntivi non sono isomorfi alla struttura dei naturali e perciò non coincidono con ciò che la teoria voleva descrivere. L'autore li chiama modelli non intesi (o extra), proprio per sottolineare lo scarto fra intenzione della teoria e conseguenze della logica.</p> <p style="text-align: justify;">A questo punto diventa indispensabile chiarire che cosa significhi “teoria categorica”, perché il termine compare esattamente per esprimere l’idea di univocità del modello. Per “<em>teoria categorica</em>” (nel senso impiegato qui) si intende una teoria che, entro la classe di modelli considerata, ha un solo modello “in sostanza”, cioè un solo modello a meno di isomorfismo. Dire “a meno di isomorfismo” serve perché in matematica due modelli possono differire nei loro elementi ma essere strutturalmente identici, e in quel caso contano come lo stesso modello dal punto di vista strutturale.</p> <p style="text-align: justify;">Frigg osserva che la conseguenza del teorema di Löwenheim–Skolem è che nessuna teoria del primo ordine con un modello infinito è categorica. Quindi, se si resta nel primo ordine e si ha a che fare con infiniti, non si ottiene l’unicità del modello, e il modello inteso non è garantito dalla sola forma assiomatica. Frigg mostra qui un punto filosofico delicato: la teoria può “mirare” a una struttura precisa, ma la logica del primo ordine lascia aperta una pluralità di realizzazioni. Questo crea un problema per chi vorrebbe identificare una teoria semplicemente con la classe dei suoi modelli, perché la classe rischia di contenere più di quanto la teoria voleva davvero dire. La discussione non si ferma però al primo ordine come se fosse un destino inevitabile. <br>Frigg considera l’idea di “salire” al secondo ordine per recuperare la categoricità, perché in vari casi (come l’aritmetica di Peano al secondo ordine) si ottiene effettivamente una caratterizzazione categorica della struttura dei naturali. Il testo richiama anche l’esempio di Corcoran, che presenta un sistema coerente e categorico il cui unico modello è la struttura dei numeri naturali. Qui “categorico” viene di nuovo usato nel senso appena chiarito: la teoria ammette, a meno di isomorfismo, solo quel modello, e dunque il modello inteso coincide con l’unico modello disponibile.</p> <p style="text-align: justify;">Ma proprio questo passaggio serve per evidenziare un secondo problema: avere una caratterizzazione categorica di una struttura non equivale ad avere un’assiomatizzazione ricca delle verità su quella struttura. L’esempio mostra che due sistemi possono avere lo stesso unico modello (la stessa struttura dei naturali) e tuttavia differire enormemente in ciò che permettono di dimostrare e articolare. In altre parole, si può “puntare” bene la struttura, e tuttavia avere un linguaggio/assiomi che non catturano molte delle verità aritmetiche che consideriamo fondamentali. <br>Questo risultato è usato per sottolineare che la scelta del linguaggio e degli assiomi non è un dettaglio sostituibile senza conseguenze. Ed è anche un avvertimento contro la tentazione di dire che una teoria “è solo” la classe dei suoi modelli, perché si perderebbe di vista il ruolo del ragionamento deduttivo e del contenuto esprimibile.</p> <p style="text-align: justify;">L’altra grande famiglia di limiti discussa è collegata all’incompletezza, evocata come ulteriore ragione per cui l’idea di catturare “tutto” con un sistema formale è problematica. Il capitolo presenta il <strong>teorema di Gödel</strong> come un vincolo sul sogno di chiudere l’aritmetica in un sistema che decida ogni enunciato rilevante. Il senso filosofico, però, non viene trattato come uno slogan: Frigg invita a non trasformare un risultato tecnico in un verdetto immediato sulla scientificità o sulla razionalità delle teorie. Rimane invece centrale la lezione metodologica: diverse logiche offrono diversi compromessi fra potere espressivo e proprietà metateoriche desiderabili. Di conseguenza, decidere “in che logica” ricostruire una teoria non è una formalità neutra, ma una scelta che condiziona sia la classe dei modelli sia il tipo di inferenze disponibili.</p> <p style="text-align: justify;">A questo punto l'autore torna a saldare insieme i fili della discussione: i modelli, nel senso logico, sono strutture; le strutture sono definite tramite domini e relazioni; le relazioni sono trattate estensionalmente come insiemi di n-uple. La nozione di estensione è quindi il ponte tecnico fra “relazione” e “struttura”, perché è l’estensione che permette di maneggiare le relazioni come oggetti matematici. E questo ponte tecnico è ciò che rende possibile la definizione rigorosa di nozioni come soddisfacimento, modello e, a valle, conseguenza logica. Il lato filosofico del capitolo consiste nel mostrare come questo rigore si accompagni a un rischio: che l’apparato logico produca più modelli di quelli che una teoria, nelle sue intenzioni scientifiche, voleva davvero contemplare. È qui che “modello inteso” diventa un termine indispensabile, perché permette di dire che una teoria può avere un bersaglio privilegiato pur ammettendo molte realizzazioni formali. Allo stesso tempo, “teoria categorica” entra come ideale di univocità: una teoria sarebbe categorica se fissasse un solo modello (a meno di isomorfismo), eliminando lo scarto fra modello inteso e modelli disponibili. Frigg però mostra anche che inseguire la categoricità non risolve automaticamente tutto, perché si può caratterizzare una struttura in modo univoco e tuttavia non ottenere un sistema soddisfacente per dedurre le verità che interessano. La morale complessiva è che una teoria non è solo una “foto” strutturale, né solo un elenco di frasi, e che parlare di modelli obbliga a tenere insieme forma logica, classe dei modelli, scopi della teoria e pratiche inferenziali.</p>
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