Vielbein - Relativity and other

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Informazione e gravita entropica - II

L&rsquo;idea che la gravit&agrave; possa emergere da principi informazionali piuttosto che essere un&rsquo;interazione fondamentale ha acquisito sempre pi&ugrave; peso sin dalla nascita della termodinamica dei buchi neri. L&rsquo;entropia di Bekenstein, la radiazione di Hawking, il principio olografico e la gravit&agrave; entropica di Verlinde indicano tutti una relazione profonda tra geometria dello spazio-tempo, termodinamica e informazione. In questa nota consideriamo una formulazione della gravit&agrave; newtoniana che utilizza esclusivamente la teoria dell&rsquo;informazione classica di Shannon, insieme a un limite olografico sulla capacit&agrave; e al principio di Landauer. Mostreremo come la legge di Newton emerga naturalmente come costo energetico minimo necessario per mantenere una descrizione coerente della posizione di una particella quando l&rsquo;osservatore si trova su uno schermo olografico dotato di memoria finita e soggetto a rumore termico.
Consideriamo una massa M&nbsp;posta all&rsquo;origine di un sistema di coordinate radiali. Attorno ad essa immagino una famiglia di schermi olografici sferici di raggio R, concentrici e annidati. Ogni schermo rappresenta il &ldquo;punto di vista&rdquo; di un osservatore ideale: non una semplice superficie geometrica, ma un confine fisico in grado di codificare un numero finito di bit riguardanti la regione interna. La capacit&agrave; massima di uno schermo &egrave; data dal noto limite olografico, proporzionale all&rsquo;area: in unit&agrave; di Planck, <img title="S_{cap}(R)\sim A(R)/(4L^2_P)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S_{cap}(R)\sim&amp;space;A(R)/(4L^2_P)"> con <img title="A(R)=4\pi R^2" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?A(R)=4\pi&amp;space;R^2">. Il numero massimo di bit memorizzabili &egrave; quindi <img title="N_{\text{bit}}(R)\propto R^2" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?N_{\text{bit}}(R)\propto&amp;space;R^2">. Nessuna descrizione esterna della regione interna pu&ograve; superare questo limite.
Inoltre, un osservatore soggetto a un campo gravitazionale generato da M&nbsp;percepisce una temperatura locale di tipo Unruh. Nel contesto olografico, allo schermo a raggio R pu&ograve; essere assegnata una temperatura efficace:
<img title="T(R)=\frac{\hbar G M}{2\pi k_b c R^2}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?T(R)=\frac{\hbar&amp;space;G&amp;space;M}{2\pi&amp;space;k_b&amp;space;c&amp;space;R^2}">
che agisce come livello di rumore termico del canale informativo rappresentato dallo schermo. Il sistema &ldquo;regione interna &rarr; schermo&rdquo; diventa cos&igrave; un canale rumoroso con capacit&agrave; limitata, attraverso cui l&rsquo;osservatore riceve solo una rappresentazione compressa dei microstati interni.
All&rsquo;interno della regione - o sul suo bordo - si consideri una particella di massa m. L&rsquo;osservatore sullo schermo non pu&ograve; accedere ai microstati interni: riceve soltanto una proiezione compressa e rumorosa. In particolare, non pu&ograve; conoscere esattamente la posizione r&nbsp;della particella; deve quindi assegnare una distribuzione di probabilit&agrave; <img title="W_R(r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?W_R(r)">&nbsp;sulle possibili posizioni r, condizionata all&rsquo;informazione accessibile sullo schermo.
Per derivare la forma esplicita di <img title="W_R(r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?W_R(r)">, assumiamo un principio informazionale analogo a quello proposto da Verlinde. Per un piccolo spostamento radiale <img title="\Delta r" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Delta&amp;space;r">, l&rsquo;entropia associata alla particella varia come:
<img title="\Delta S_p=2\pi k_b\frac{m c}{\hbar}\Delta r" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Delta&amp;space;S_p=2\pi&amp;space;k_b\frac{m&amp;space;c}{\hbar}\Delta&amp;space;r">
Questo definisce un gradiente entropico fissato dalla massa m. In forma differenziale:
<img title="\frac{d S_p}{dr}=2\pi k_b\frac{m c}{\hbar}=k_b\alpha\qquad\alpha=\frac{2\pi m c}{\hbar}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{d&amp;space;S_p}{dr}=2\pi&amp;space;k_b\frac{m&amp;space;c}{\hbar}=k_b\alpha\qquad\alpha=\frac{2\pi&amp;space;m&amp;space;c}{\hbar}">
Integrando:
<img title="S_p(r)=S_0+k_b\alpha r" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S_p(r)=S_0+k_b\alpha&amp;space;r">
Interpretando <img title="S_p(r)=k_b\ln{\Omega(r)}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S_p(r)=k_b\ln{\Omega(r)}"> come entropia di Boltzmann del macro-stato &ldquo;la particella &egrave; a r&rdquo; si ottiene che:
<img title="\Omega(r)\propto e^{\alpha r}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Omega(r)\propto&amp;space;e^{\alpha&amp;space;r}">
Assumendo massima ignoranza a meno del vincolo sul gradiente informazionale, la probabilit&agrave; di un dato r &egrave; proporzionale a <img title="\Omega(r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Omega(r)"> e quindi:
<img title="W_R(r)\propto e^{\alpha r}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?W_R(r)\propto&amp;space;e^{\alpha&amp;space;r}">
normalizzando poi nell'intervallo 0 &lt; r &lt;R si ha:
<img title="W_R(r)=W_0(R)e^{\alpha r}=\frac{\alpha}{e^{\alpha R}-1}e^{\alpha r}\qquad 0&lt;r&lt;R" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?W_R(r)=W_0(R)e^{\alpha&amp;space;r}=\frac{\alpha}{e^{\alpha&amp;space;R}-1}e^{\alpha&amp;space;r}\qquad&amp;space;0&lt;r&lt;R">
Il risultato &egrave; una distribuzione esponenziale crescente: lo stato pi&ugrave; probabile, dal punto di vista dello schermo, &egrave; che la particella si trovi vicino alla superficie stessa. L&rsquo;informazione proveniente da profondit&agrave; maggiori risulta infatti pi&ugrave; compressa e pi&ugrave; degradata dal rumore.
Conoscendo la distribuzione l'entropia del microstato (o dell'evento "la particella si trova in r") &egrave; data da:
<img title="S_p(r)=k_b\ln(W_R(r))=k_b(\ln\alpha+\alpha r-\ln(e^{\alpha R}-1))=C(R)+k_b\alpha r" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S_p(r)=k_b\ln(W_R(r))=k_b(\ln\alpha+\alpha&amp;space;r-\ln(e^{\alpha&amp;space;R}-1))=C(R)+k_b\alpha&amp;space;r">
da cui segue immediatamente:
<img title="\frac{dS_p}{dr}=k_b\alpha" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{dS_p}{dr}=k_b\alpha">
Si noti <img title="S_p(r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S_p(r)">&nbsp;&egrave; l&rsquo;entropia del microstato, mentre la vera entropia statistica della distribuzione sullo schermo &egrave;
<img title="S(R)=-k_b\int _0^R W_R(r)\ln W_R(r)dr" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S(R)=-k_b\int&amp;space;_0^R&amp;space;W_R(r)\ln&amp;space;W_R(r)dr">
Calcolando questa entropia e considerando il limite fisicamente rilevante <img title="\alpha R\gg 1" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\alpha&amp;space;R\gg&amp;space;1">, che corrisponde a schermi molto pi&ugrave; grandi della scala quantistica <img title="\frac{\hbar}{mc}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{\hbar}{mc}"> associata alla particella, emerge un risultato interessante:
<img title="S(R)\approx k_b(1-\ln\alpha)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S(R)\approx&amp;space;k_b(1-\ln\alpha)">
cio&egrave; l&rsquo;entropia della distribuzione &egrave; praticamente indipendente da R. Questo significa che ingrandire lo schermo non aumenta l&rsquo;informazione sulla posizione della particella: l&rsquo;informazione effettiva &egrave; satura. Questa &egrave; l&rsquo;analogia informazionale del limite classico: per osservatori situati a distanze molto maggiori della scala quantistica, la ricostruzione della posizione della particella non migliora pi&ugrave; al crescere della distanza.
A questo punto, mentre l&rsquo;informazione totale sulla particella rimane costante, la rappresentazione di tale informazione deve adattarsi quando lo schermo cambia raggio. Cambiando R, cambiano contemporaneamente la capacit&agrave; massima di memoria e la temperatura di rumore dello schermo. Per mantenere una descrizione coerente, la distribuzione&#8203; <img title="W_R(r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?W_R(r)"> deve essere aggiornata in una nuova <img title="W_{R+dR}(r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?W_{R+dR}(r)">, e ci&ograve; comporta una modifica nell&rsquo;entropia dei microstati.
Secondo il principio di Landauer, ogni modifica di informazione in un sistema a temperatura T&nbsp;comporta un costo energetico minimo <img title="dE=T dS" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?dE=T&amp;space;dS">. Applicato al nostro caso, lo spostamento <img title="R\to R+dR" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?R\to&amp;space;R+dR"> richiede un lavoro minimo:
<img title="dE=T\frac{dS_p}{dR}dR\qquad\frac{dE}{dR}=F(R)=T(R)\frac{dS_p}{dr}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?dE=T\frac{dS_p}{dR}dR\qquad\frac{dE}{dR}=F(R)=T(R)\frac{dS_p}{dr}">
da cui si ricava, andando a sostituire:
<img title="F(R)=-\frac{G M m}{R^2}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?F(R)=-\frac{G&amp;space;M&amp;space;m}{R^2}">
che &egrave; la legge di gravitazione universale. La sua forma emerge dalla struttura informazionale: il termine <img title="\frac{1}{R^2}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{1}{R^2}">&nbsp;deriva dalla temperatura di Unruh dello schermo; il termine proporzionale a m deriva dal gradiente informazionale della particella; il prodotto di questi due fattori d&agrave; la forza.
In questo quadro, la gravit&agrave; non &egrave; una forza che agisce sulla particella. &Egrave; piuttosto un costo informazionale percepito dall&rsquo;osservatore: l&rsquo;energia minima che egli deve spendere per mantenere la descrizione coerente della posizione della particella quando cambia la scala di osservazione. La universalit&agrave; della legge di Newton &egrave; conseguenza dell&rsquo;universalit&agrave; della capacit&agrave; olografica degli schermi, dell&rsquo;universalit&agrave; della temperatura di Unruh e della forma lineare del gradiente informazionale fissato dalla massa della particella.
Questa prospettiva suggerisce che la geometria dello spazio-tempo e la gravit&agrave; emergono da vincoli di coerenza informazionale tra osservatori collocati su diversi schermi olografici. La relativit&agrave; generale potrebbe apparire, in questo senso, come la condizione di compatibilit&agrave; globale tra queste descrizioni informative locali. Da questa visione discende che la gravit&agrave; non &egrave; altro che il costo minimo di aggiornamento informazionale necessario per garantire che la rappresentazione del mondo rimanga coerente quando un osservatore cambia scala.