Vielbein - Relativity and other

Vielbein

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La ipotesi di Helmholtz sulla origine della energia solare

Helmholtz cerc&ograve; nella sua prospettiva scientifica di compiere un riduzionismo meccanico dei vari fenomeni naturali, in particolare per quanto riguarda la termodinamica. Uno dei contributi pi&ugrave; interessanti fu la spiegazione che diede sull'origine dell'energia solare, che alla fine del XIX secolo era un tema dibattuto nella comunit&agrave; degli astronomi.
Secondo Helmholtz l'origine di tale energia &egrave; puramente gravitazionale e si verifica quando la stella si raffredda e dunque si contrae per mantenere l'equilibrio idrostatico.
L'energia potenziale di un guscio sferico di materia di raggio r e massa <img title="dM_r" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?dM_r"> immerso in un campo gravitazionale generato da un guscio sferico di raggio <img title="s&lt;r" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?s&lt;r"> e massa <img title="dM_s" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?dM_s"> &egrave; dato da:
<img title="E_{rs}^{pot}=-G\cdot\frac{dM_r\cdot dM_s}{r}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?E_{rs}^{pot}=-G\cdot\frac{dM_r\cdot&amp;space;dM_s}{r}">
dove G &egrave; la costante di gravitazione universale. L'energia potenziale del guscio esterno nel campo gravitazionale generato da tutti i gusci con <img title="s&lt;r" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?s&lt;r"> &egrave; uguale a:
<img title="E_{r}^{pot}=-G\cdot\frac{dM_r\cdot M_r}{r}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?E_{r}^{pot}=-G\cdot\frac{dM_r\cdot&amp;space;M_r}{r}">
considerando ora tutti gli strati che compongono la stella si avr&agrave;:
<img title="E^{pot}=-G\cdot\int_{0}^{R}\frac{M_r}{r}\cdot dM_r=-\frac{1}{2}G\frac{M_R^2}{R}-\frac{1}{2}G\int_{0}^{R}\frac{M^2_r}{r^2}dr" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?E^{pot}=-G\cdot\int_{0}^{R}\frac{M_r}{r}\cdot&amp;space;dM_r=-\frac{1}{2}G\frac{M_R^2}{R}-\frac{1}{2}G\int_{0}^{R}\frac{M^2_r}{r^2}dr">
dove per ottenere l'ultimo integrale si &egrave; integrato per parti.
Se si ipotizza che la distribuzione della massa all'interno della stella sia uniforme e pari a:
<img title="\rho=\frac{M_r}{4/3\pi R^3}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\rho=\frac{M_r}{4/3\pi&amp;space;R^3}">
il calcolo dell'energia potenziale si semplifica, ottenendo:
<img title="E^{pot}=-\frac{3}{5}G\frac{M^2_R}{R}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?E^{pot}=-\frac{3}{5}G\frac{M^2_R}{R}">
A questo punto Helmholtz ipotizza che nel passato la nostra stella avesse un raggio pari all'orbita terrestre e che si sia ridotta al raggio attuale in un arco di tempo che pu&ograve; essere calcolato supponendo che tutta l'energia potenziale si sia trasformata in energia radiante e sia stata rilasciata al ritmo attuale. Il risultato di tale calcolo - che non riportiamo - &egrave; pari a:
<img title="\Delta t=20\cdot 10^6\quad anni" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Delta&amp;space;t=20\cdot&amp;space;10^6\quad&amp;space;anni">
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