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Forza Entropica in un polimero
<p style="text-align: justify;">Il concetto di Forza Entropica ha avuto negli ultimi anni un'espansione del suo utilizzo in numerose aree della fisica - si veda ad esempio la sua influenza nello studio sull'origine della gravità - ma non è stato più di tanto analizzata la sua origine nello studio dei polimeri. In questa breve nota riassumiamo il modello attualmente in uso nella comunità sceintifica.</p> <p style="text-align: justify;">Un polimero è una lunga catena di molecole che si ripetono (una connessione di monomeri), un cui esempio è rappresentato dalla catena di DNA. A differenza di una molla, la cui forza deriva da un'energia potenziale dovuta ai legami molecolari che costituiscono la molla, nel caso dei polimeri la forza ha una origine statistica che deriva dalle configurazioni che il polimero può assumere; da qui la nozione di forza entropica.</p> <p style="text-align: justify;">Siccome la forza deriva dalle configurazioni del sistema, più esse sono numerose e maggiore sarà l'entropia del sistema; analogamente più le configurazioni del polimero sono basse e minore sarà la sua entropia. Si consideri inoltre che in natura si cerca sempre di raggiungere uno stato di massima entropia e quindi, nel caso dei polimeri, si cercherà uno stato in cui il numero di configurazioni e massimo.</p> <p style="text-align: justify;">Cerchiamo ora di definire un modello associato ad un polimero: come indicato in precedenza esso è una catena di monomeri ognuno dei quali è collegato con il monomero precedente nella catena (ed eventualmente il successivo) che si distribuisce liberamente in uno spazio tridimensionale. Se supponiamo che il polimero sia composto da <img title="N" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?N"> monomeri (non interagenti fra di loro), ognuno dei quali per semplicità assume la medesima lunghezza <img title="b" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?b"> e che si possa muovere in ogni direzione dello spazio, un modello classico che descrive un sistema di tal genere è quello che si ricollega ad un cammino randomico. </p> <p style="text-align: justify;">Indichiamo con <img title="\vec R" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec&space;R"> la lunghezza (end-to-end) che assume il polimero e che si ottiene sommando <img title="N" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?N"> steps di vettore <img title="\vec r_i" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec&space;r_i"> (ognuno dei quali ha lunghezza <img title="b" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?b">):</p> <p style="text-align: center;"><img title="\vec R=\sum_{i=1}^{N}\vec r_i" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec&space;R=\sum_{i=1}^{N}\vec&space;r_i"></p> <p style="text-align: justify;">dove come è facile intuire i monomeri sono rappresentati dai vettori <img title="\vec r_i" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec&space;r_i"> che possono assumere qualsiasi direzione.</p> <p style="text-align: justify;">Poichè le direzioni sono randomiche, la componente <img title="\vec R" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec&space;R"> sarà la somma di <img title="N" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?N"> variabili casuali ed ipotizzzando che assuma una distribuzione gaussiana, avremo che la probabilità che il polimero abbia estensione <img title="\vec R" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec&space;R"> sia:</p> <p style="text-align: center;"><img title="P(\vec R)=\left(\frac{3}{2\pi N b^2}\right)^{3/2}exp\left(-\frac{3\vec R^2}{2Nb^2}\right)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?P(\vec&space;R)=\left(\frac{3}{2\pi&space;N&space;b^2}\right)^{3/2}exp\left(-\frac{3\vec&space;R^2}{2Nb^2}\right)"></p> <p style="text-align: justify;">Una volta nota la distribuzione di probabilità di <img title="\vec R" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec&space;R"> possiamo calcolare l'entropia del polimero:</p> <p style="text-align: center;"><img title="S(\vec R)=-k_b\cdot ln(P(\vec R))" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S(\vec&space;R)=-k_b\cdot&space;ln(P(\vec&space;R))"></p> <p style="text-align: justify;">andando a sostituire si ottiene:</p> <p style="text-align: center;"><img title="S(\vec R)=-k_b\left(ln\left(\frac{3}{2\pi N b^2}\right)^{3/2}-\frac{3\vec R^2}{2 N b^2}\right)=K+\frac{3\vec R^2}{2Nb^2}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S(\vec&space;R)=-k_b\left(ln\left(\frac{3}{2\pi&space;N&space;b^2}\right)^{3/2}-\frac{3\vec&space;R^2}{2&space;N&space;b^2}\right)=K+\frac{3\vec&space;R^2}{2Nb^2}"></p> <p style="text-align: justify;">Se consideriamo poi che la forza <img title="\vec F" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec&space;F"> esercitata sul polimero dalla sua entropia è data dal gradiente della sua energia libera, si ha:</p> <p style="text-align: center;"><img title="\vec F=-\nabla A=-T\cdot\frac{dS}{d\vec R}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec&space;F=-\nabla&space;A=-T\cdot\frac{dS}{d\vec&space;R}"></p> <p style="text-align: justify;">da cui otteniamo:</p> <p style="text-align: center;"><img title="\vec F=-T\cdot\frac{3k_b\vec R}{\pi N b^2}=-\frac{2k_b T}{\pi N b^2}\cdot\vec R" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\vec&space;F=-T\cdot\frac{3k_b\vec&space;R}{\pi&space;N&space;b^2}=-\frac{2k_b&space;T}{\pi&space;N&space;b^2}\cdot\vec&space;R"></p> <p style="text-align: justify;">che è una forza come quella di Hooke. Si noti che più la lunghezza del polimero aumenta maggiore è la forza entropica che viene esercitata affinchè esso ritorni alla sua condizione di equilibrio.</p> <p style="text-align: justify;">E' interessante osservare che il modello appena costruito può essere comparato con un modello in cui il polimero è sottoposto ad un potenziale:</p> <p style="text-align: center;"><img title="U(\vec R)=\frac{2k_b T}{\pi N b^2}\cdot\vec R^2" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?U(\vec&space;R)=\frac{2k_b&space;T}{\pi&space;N&space;b^2}\cdot\vec&space;R^2"></p> <p style="text-align: justify;">mostrando un legame interessante fra entropia e potenziale; si ha infatti il l'energia potenziale di un oscillatore armonico se vale la seguente relazione:</p> <p style="text-align: center;"><img title="U(\vec R)=\frac{1}{2}\cdot\frac{4k_b T}{\pi N b^2}\cdot\vec R^2=\frac{1}{2}\cdot K\cdot\vec R^2\qquad K=\frac{4k_b T}{\pi N b^2}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?U(\vec&space;R)=\frac{1}{2}\cdot\frac{4k_b&space;T}{\pi&space;N&space;b^2}\cdot\vec&space;R^2=\frac{1}{2}\cdot&space;K\cdot\vec&space;R^2\qquad&space;K=\frac{4k_b&space;T}{\pi&space;N&space;b^2}"></p>
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