Vielbein - Relativity and other

Vielbein

Latest notes...

Some notes on Relativity and other arguments

Informazione e gravita entropica

In una nota precedente abbiamo descritto l'argomentazione di Verlinde a sostegno di una teoria per la gravit&agrave; entropica; qui di seguito invece vogliamo fare alcune considerazioni che portano ad un risultato analogo senza l'utlizzo del principio olografico.
In termodinamica una forza entropica &egrave; determinata da:
<img title="F=T\cdot\frac{dS}{dx}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?F=T\cdot\frac{dS}{dx}">
dove S &egrave; l'entropia del sistema, <img title="dx" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?dx"> lo spostamento che subisce il sistema ed infine la temperatura T &egrave; determinata da:
<img title="T=\left(\frac{dS}{dU}\right)^{-1}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?T=\left(\frac{dS}{dU}\right)^{-1}">
dove U &egrave; l'energia interna del sistema. Nella proposta di Verlinde la temperatura &egrave; determinata tramite la regola di ripartizione dell'energia e l'entropia del sistema non &egrave; data; viene considerata solo la variazione di entropia indotta dalla particella che si avvicina allo schermo olografico. Non viene neppure considerata l'energia interna del sistema, che viene in qualche modo ridotta all'energia <img title="Mc^2" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?Mc^2"> della massa che genera il campo gravitazionale.
Se vogliamo utilizzare la definizione di forza introdotta in precedenza, dobbiamo definire un'entropia S del sistema. Esso consiste in due masse M e m che sono posizionate ad una distanza R. Il potenziale gravitazionale del nostro sistema &egrave;:
<img title="U(r)=-G\frac{Mm}{r}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?U(r)=-G\frac{Mm}{r}">
e supponiamo che corrisponda alla sua energia interna. Ipotizziamo inoltre che il sistema non abbia ulteriore energia meccanica (si noti che U dovrebbe essere un'energia meccanica, ma noi consideriamo che essa abbia una origine termodinamica).
La proposta di Verlinde si basa anche sul concetto di informazione che nel suo caso &egrave; distribuita sulla superficie dello schermo olografico; nel nostro caso dobbiamo definire un concetto di informazione che sia legato al potenziale gravitazionale. A tale proposito ci poniamo il quesito di quale sia l'informazione associata alla funzione <img title="U(r)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?U(r)">. Notiamo in primo luogo che la funzione &egrave; strettamente decrescente ed in seguito consideriamo un intervallo <img title="\left[r_0,r_1\right]" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\left[r_0,r_1\right]"> e cerchiamo di determinarne l'informazione in esso contenuta. Sappiamo che agli estremi la funzione assume i valori <img title="U(r_0)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?U(r_0)"> e <img title="U(r_1)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?U(r_1)"> e quindi in prima approssimazione possiamo ipotizzare che l'informazione I associata alla funzione U nell'ntervallo <img title="\Delta r=[r_0,r_1]" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Delta&amp;space;r=[r_0,r_1]"> &egrave; data da:
<img title="I=\frac{U(r_1)-U(r_0)}{U(r_0)}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?I=\frac{U(r_1)-U(r_0)}{U(r_0)}">
proviamo ora a ridurre l'intervallo a zero considerando <img title="[r_0,r_1]=[r_0,r_0+\delta r]" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?[r_0,r_1]=[r_0,r_0+\delta&amp;space;r]"> e facendo tendere&nbsp;<img title="\delta r\to 0" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\delta&amp;space;r\to&amp;space;0">. Sviluppiamo <img title="U(r_1)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?U(r_1)"> in serie fermandoci al primo ordine:
<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" title="I(\delta r)=\frac{U(r_0+\delta r)-U(r_0)}{U(r_0)}=\frac{U(r_0)+\delta r\cdot U%27{r_0}-U(r_0)}{U(r_0)}=\delta r\cdot\frac{U%27(r_0)}{U(r_0)}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?I(\delta&amp;space;r)=\frac{U(r_0+\delta&amp;space;r)-U(r_0)}{U(r_0)}=\frac{U(r_0)+\delta&amp;space;r\cdot&amp;space;U%27{r_0}-U(r_0)}{U(r_0)}=\delta&amp;space;r\cdot\frac{U%27(r_0)}{U(r_0)}">
dove <img title="U'(r_0)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?U'(r_0)"> &egrave; la derivata di U valutata in <img title="r_0" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?r_0">.&nbsp;Da questa espressione si ottiene:
<img title="\frac{I(\delta r)}{\delta r}=\frac{U%27(r_0)}{U(r_0)}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{I(\delta&amp;space;r)}{\delta&amp;space;r}=\frac{U%27(r_0)}{U(r_0)}">
che diviene:
<img title="\frac{dI(r)}{dr}=\frac{U%27(r)}{U(r)}=\mathit{I_d(r)}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{dI(r)}{dr}=\frac{U%27(r)}{U(r)}=\mathit{I_d(r)}">
ed esprime una densit&agrave; di informazione dipendente dalla posizione r.
La densit&agrave; di informazione per l'energia interna del nostro sistema diviene:
<img title="\mathit{I_d}(r)=\frac{\frac{dU(r)}{dr}}{U(r)}=-\frac{1}{r}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\mathit{I_d}(r)=\frac{\frac{dU(r)}{dr}}{U(r)}=-\frac{1}{r}">
che mostra come l'informazione sia inversamente proporzionale alla distanza e non contenga alcuna informazione sulle masse in gioco. Si noti inoltre che l'informazione cos&igrave; definita per <img title="r&gt;0" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?r&gt;0"> &egrave; negativa, mentre invece vogliamo che sia una quantit&agrave; positiva. Inoltre al fine di ottenere una entropia, le dimensioni di <img title="I_d" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?I_d"> devono variare in modo opportuno:
<img title="S(r)=-k_b l_p\cdot I_d(r)=k_b\cdot l_p\cdot\frac{\frac{dU(r)}{dr}}{U(r)}=\frac{k_b l_p}{r}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?S(r)=-k_b&amp;space;l_p\cdot&amp;space;I_d(r)=k_b\cdot&amp;space;l_p\cdot\frac{\frac{dU(r)}{dr}}{U(r)}=\frac{k_b&amp;space;l_p}{r}">
dove <img title="k_b" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?k_b"> &egrave; la costante di Boltzmann ed <img title="l_p" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?l_p"> &egrave; la lunghezza di Plank. In questi passaggi abbiamo dunque ottenuto un'entropia legata al potenziale gravitazionale iniziale.
Possiamo ora calcolare la temperatura associata al nostro sistema, iniziando a determinare:
<img title="\frac{dS}{dU}=\frac{dS/dr}{dU/dr}=\frac{k_b l_p/r^2}{GMm/r^2}=\frac{k_b l_p}{GMm}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{dS}{dU}=\frac{dS/dr}{dU/dr}=\frac{k_b&amp;space;l_p/r^2}{GMm/r^2}=\frac{k_b&amp;space;l_p}{GMm}">
si ottiene infine per T il valore:
<img title="T=\left(\frac{dS}{dU}\right)^{-1}=\frac{GMm}{k_b l_p}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?T=\left(\frac{dS}{dU}\right)^{-1}=\frac{GMm}{k_b&amp;space;l_p}">
che ha effettivamente le dimensioni di una temperatura. Si noti inoltre che la temperatura del sistema &egrave; costante.
Calcoliamo ora la variazione dell'entropia in base alla posizione:
<img title="\frac{dS}{dr}=-\frac{k_b l_p}{r^2}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{dS}{dr}=-\frac{k_b&amp;space;l_p}{r^2}">
combinando infine i vari risultati si ha:
<img title="F=T\cdot\frac{dS}{dr}=\frac{GMm}{k_b l_p}\cdot\frac{-k_b l_p}{r^2}=-\frac{GMm}{r^2}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?F=T\cdot\frac{dS}{dr}=\frac{GMm}{k_b&amp;space;l_p}\cdot\frac{-k_b&amp;space;l_p}{r^2}=-\frac{GMm}{r^2}">
che rappresenta la forza di gravitazione universale proposta da Newton.
Si noti per&ograve; che la temperatura calcolata con questo metodo non corrisponde alla temperatura ottenuta con la formula di Unruh imponendo come accelerazione <img title="a=GM/R^2" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?a=GM/R^2">:
<img title="T=\frac{GMm}{k_b l_p}\neq\frac{\hbar GM}{2\pi k_b c R^2}=T_u" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?T=\frac{GMm}{k_b&amp;space;l_p}\neq\frac{\hbar&amp;space;GM}{2\pi&amp;space;k_b&amp;space;c&amp;space;R^2}=T_u">
la differenza principale &egrave; che il primo termine dipende dalla massa della particella, mentre il secondo &egrave; funzione di <img title="R^2" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?R^2">.