Vielbein - Relativity and other

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Verlinde e la gravita entropica

In un articolo del 2011 Verlinde presenta una argomentazione che cerca di dimostrare come la gravit&agrave; abbia una origine entropica.
Il ragionamento &egrave; radicato negli approcci alla gravit&agrave; quantistica che coinvolgono il principio olografico, il quale afferma che l'intera informazione contenuta in un volume N-dimensionale pu&ograve; essere rappresentata da una teoria a N-1 dimensioni che si situa sul bordo della zona considerata.
Verlinde dunque considera una superficie sferica bidimensionale (lo schermo olografico) su cui &egrave; distribuita l'informazione ed una particella che si trova nelle sue immediate vicinanze. Se la particella &egrave; sufficientemente vicina alla schemo essa influenza l'entropia presente su di esso con un fattore pari a:
<img title="\Delta S=2\pi k_b\frac{mc}{\hbar}\Delta x " src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Delta&amp;space;S=2\pi&amp;space;k_b\frac{mc}{\hbar}\Delta&amp;space;x&amp;space;">
dove S &egrave; l'entropia,&nbsp;<img title="k_b" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?k_b"> &egrave; la costante di Boltzmann, c &egrave; la velocit&agrave; della luce, m la massa della particella, <img title="\hbar" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\hbar"> la costante di Plank ridotta e <img title="\Delta x " src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Delta&amp;space;x&amp;space;"> la posizione della particella rispetto allo schermo.
Se l'informazione &egrave; distribuita sulla superficie e corrisponde a N bits si pu&ograve; assumere una proporzionalit&agrave; all'area che in formule &egrave;:
<img title="N=\frac{Ac^3}{G\hbar}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?N=\frac{Ac^3}{G\hbar}">
dove <img title="A=4\pi R^2" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?A=4\pi&amp;space;R^2"> &egrave; la superficie dello schermo, G una costante che verr&agrave; definita in un secondo momento e che corrisponde alla costante di garvitazione universale.
Si ipotizza in seguito che l'energia E viene distribuita sullo schermo negli N bits e che la temperatura T dello schermo &egrave; determinata dalla regola di equipartizione:
<img title="E=\frac{1}{2}Nk_bT" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?E=\frac{1}{2}Nk_bT">
Inoltre si considera che l'energia <img title="E=Mc^2" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?E=Mc^2"> &egrave; determinata completamente dalla massa M che genera il campo gravitazionale.
A questo punto interviene la parte entropica; infatti Verlinde ipotizza che la particella in prossimit&agrave; dello schermo si comporti come l'osmosi nei pressi di una barriera semi-permeabile. Quando una particella ha una ragione entropica per situarsi sul lato di una membrana e la membrana &egrave; caratterizzata da una temperatura, la forza che viene esercitata sulla particella &egrave; di tipo entropico ed &egrave; data da:
<img title="F\Delta x=T\Delta S" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?F\Delta&amp;space;x=T\Delta&amp;space;S">
Ricavando la temperatura dalla formula dell'equipartizione, dalla definizione di N e dalla definizione dell'energia, e determinando il rapporto <img title="\Delta S" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Delta&amp;space;S">\<img title="\Delta x" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Delta&amp;space;x"> dalla prima equazione introdotta si ottiene che la forza &egrave;:
<img title="F=G\frac{Mm}{R^2}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?F=G\frac{Mm}{R^2}">
che &egrave; la solita definizione della forza di gravit&agrave; fornita da Newton.
Supponiamo ora di seguire un altro percorso e consideriamo valida l'espressione per la forza entropica:
<img title="F=T\cdot\frac{dS}{dx}\qquad\to\qquad dS=\frac{F}{T}dx" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?F=T\cdot\frac{dS}{dx}\qquad\to\qquad&amp;space;dS=\frac{F}{T}dx">
se ora imponiamo che la forza F sia l'usuale attrazione gravitazionale e per T la temperatura di Unruh che la collega all'accelerazione:
<img title="T=\frac{\hbar a}{2\pi k_b c}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?T=\frac{\hbar&amp;space;a}{2\pi&amp;space;k_b&amp;space;c}">
dove a assume il valore:
<img title="a=\frac{GM}{R^2}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?a=\frac{GM}{R^2}">
possiamo esprimere <img title="dS" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?dS"> andando a sostituire i vari pezzi:
<img title="dS=\left(\frac{-\frac{GMm}{R^2}}{\frac{\hbar GM}{2\pi k_b c R^2}}\right)dx=-\frac{2\pi k_b c m}{\hbar}dx" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?dS=\left(\frac{-\frac{GMm}{R^2}}{\frac{\hbar&amp;space;GM}{2\pi&amp;space;k_b&amp;space;c&amp;space;R^2}}\right)dx=-\frac{2\pi&amp;space;k_b&amp;space;c&amp;space;m}{\hbar}dx">
che indica la variazione di entropia dovuta alla presenza di una massa m in prossimit&agrave; dello schermo olografico, come abbiamo specificato all'inizio della nota.