Vielbein - Relativity and other

Vielbein

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Some notes on Relativity and other arguments

Informazione senza utilizzare la probabilita

In questo post si vuole introdurre una definizione di Informazione che non sia legata al concetto di probabilit&agrave;. Supponiamo dunque che esista una funzione - che chiameremo Informazione:
<img title="I:A\to\mathbb{R}^+" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?I:A\to\mathbb{R}^+">
che assegni un valore reale non negativo ad ogni elemento che appartiene all'insieme&nbsp;<img title="A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?A">. Un elemento di <img title="A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?A"> viene chiamato evento e - in analogia con quanto si fa per la teoria della probabilit&agrave; - &egrave; un sottoinsieme di un insieme pi&ugrave; vasto <img title="\Omega " src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Omega&amp;space;"> (sample space) che contiene tutti i possibili 'outcomes' del nostro sistema/esperimento.
Definiamo ora una <img title="\sigma" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\sigma">-algebra <img title="A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?A"> di sottoinsiemi di <img title="\Omega " src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Omega&amp;space;"> che soddisfa le propriet&agrave;:
1. <img title="\Omega\in\textit{A}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Omega\in\textit{A}">
2. Se <img title="B\in A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?B\in&amp;space;A"> definiamo il complemento <img title="B^C=(\Omega-B)\in A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?B^C=(\Omega-B)\in&amp;space;A">
3. Se <img title="B_{n}\in A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?B_{n}\in&amp;space;A"> per n=1..n allora
<img title="\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n}\in A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n}\in&amp;space;A">
Una volta definita l'algebra dobbiamo specificare meglio la funzione I(B) che associa una determinata quantit&agrave; di informazione all'evento B. Uno degli aspetti di cui dobbiamo tenere conto quando definiamo l'informazione &egrave; che l'informazione di un evento B pi&ugrave; specifico di un evento A &egrave; maggiore: in formule si ha che se&nbsp;<img title="B\subset A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?B\subset&amp;space;A"> vale <img title="I(B)&gt;I(A)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?I(B)&gt;I(A)">.
Introduciamo ora una operazione binaria:
<img title="\oplus:\mathbb{R}_{0}^{+}\times\mathbb{R}_{0}^{+}\mapsto\mathbb{R}_{0}^{+}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\oplus:\mathbb{R}_{0}^{+}\times\mathbb{R}_{0}^{+}\mapsto\mathbb{R}_{0}^{+}">
che esprime l'informazione di due insiemi disgiunti:
<img title="I(A\cup B)=I(A)\oplus I(B)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?I(A\cup&amp;space;B)=I(A)\oplus&amp;space;I(B)">
Per definire come &egrave; fatta l'operazione binaria iniziamo con il definire alcune propriet&agrave; che deve soddisfare l'informazione:
1. <img title="I(B)&gt;0\enspace\forall B\in A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?I(B)&gt;0\enspace\forall&amp;space;B\in&amp;space;A">
2. <img title="I(\Omega)=0" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?I(\Omega)=0">
3. Se <img title="B\in A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?B\in&amp;space;A"> e <img title="C\in A" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?C\in&amp;space;A"> e <img title="B\cap C=0" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?B\cap&amp;space;C=0"> vale la relazione:
&nbsp;<img title="I(B\cup C)=I(B)\oplus I(C)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?I(B\cup&amp;space;C)=I(B)\oplus&amp;space;I(C)">
4. Vale la relazione:<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" title="B_1\subseteq B_2\subseteq\dots\subseteq B_n\enspace\mapsto B=\bigcup_{i=1}^{\infty}B_n\enspace\mapsto I(B_n)\rightarrow I(B)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?B_1\subseteq&amp;space;B_2\subseteq\dots\subseteq&amp;space;B_n\enspace\mapsto&amp;space;B=\bigcup_{i=1}^{\infty}B_n\enspace\mapsto&amp;space;I(B_n)\rightarrow&amp;space;I(B)">
la quale indica che, data una successione di eventi che si includono a vicenda, l'informazione dell'n-esimo evento tende ad essere uguale all'informazione di B, a sua volta unione degli n eventi. La medesima relazione vale per:
&nbsp;<img title="B_1\supseteq B_2\supseteq\dots\supseteq B_n\enspace\mapsto B=\bigcap_{i=1}^{\infty}B_n\enspace\mapsto I(B_n)\rightarrow I(B)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?B_1\supseteq&amp;space;B_2\supseteq\dots\supseteq&amp;space;B_n\enspace\mapsto&amp;space;B=\bigcap_{i=1}^{\infty}B_n\enspace\mapsto&amp;space;I(B_n)\rightarrow&amp;space;I(B)">
La relazione (4) rappresenta una sorta di continuit&agrave; nell'informazione.
Definiamo ora alcune propriet&agrave; che caratterizzano l'operazione binaria che abbiamo appena introdotto. Supponiamo di avere&nbsp;<img title="x,y,z\in\mathbb{R}_0^+" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?x,y,z\in\mathbb{R}_0^+"> e le seguenti propriet&agrave;:
1. Propriet&agrave; commutativa: <img title="x\oplus y=y\oplus x" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?x\oplus&amp;space;y=y\oplus&amp;space;x">
2. Propriet&agrave; associativa: <img title="(x\oplus y)\oplus z=x\oplus(y\oplus z)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?(x\oplus&amp;space;y)\oplus&amp;space;z=x\oplus(y\oplus&amp;space;z)">
3. Vale la relazione: <img title="I(B)\oplus I(B^C)=0" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?I(B)\oplus&amp;space;I(B^C)=0"> che indica come l'informazione totale &egrave; nulla.
4. La funzione <img title="\oplus " src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\oplus&amp;space;"> &egrave; continua in due variabili (che sia di due variabili deriva dalla sua definizione precedente)
5. Se due eventi sono indipendenti si ha: <img title="I(B\cap C)=I(B)+I(C)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?I(B\cap&amp;space;C)=I(B)+I(C)"> ed inoltre vale la relazione: <img title="(x+z)\oplus(y+z)=(x+y)\oplus z" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?(x+z)\oplus(y+z)=(x+y)\oplus&amp;space;z">
Date queste 5 propriet&agrave; si pu&ograve; dimostrare che &egrave; valida una delle seguenti equazioni:
<img title="\forall x,y\in\mathbb{R}_0^+\qquad x\oplus y=min\{x,y\}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\forall&amp;space;x,y\in\mathbb{R}_0^+\qquad&amp;space;x\oplus&amp;space;y=min\{x,y\}">
<img title="\exists k&gt;0,\forall x,y\in\mathbb{R}_0^+\qquad x\oplus y=-k\cdot log_2\left(2^{-\frac{x}{k}}+2^{-\frac{y}{k}}\right)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\exists&amp;space;k&gt;0,\forall&amp;space;x,y\in\mathbb{R}_0^+\qquad&amp;space;x\oplus&amp;space;y=-k\cdot&amp;space;log_2\left(2^{-\frac{x}{k}}+2^{-\frac{y}{k}}\right)">
La dimostrazione non &egrave; banale e si base sui lavori di Forte e la loro estensione proposta da Cerny e Brunovsky ("A Note on Information Without Probability"). Si pu&ograve; inoltre dimostrare che la prima equazione &egrave; un caso limite della seconda quando <img title="k\to 0^+" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?k\to&amp;space;0^+">.
Vale inoltre un'estensione della seconda equazione:
<img title="\bigoplus_{i=1}^n x_i=x_1\oplus\dots\oplus x_n=-k\cdot log_2(2^{-\frac{x_1}{k}}+\dots+2^{-\frac{x_n}{k}})" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\bigoplus_{i=1}^n&amp;space;x_i=x_1\oplus\dots\oplus&amp;space;x_n=-k\cdot&amp;space;log_2(2^{-\frac{x_1}{k}}+\dots+2^{-\frac{x_n}{k}})">
Abbiamo ora tutti gli strumenti per definire in cosa consista l'informazione.&nbsp;
Supponiamo di avere una partizione A del sample space <img title="\Omega " src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Omega&amp;space;"> costituita da n eventi ognuno dei quali possiede una quantit&agrave; di informazione a. In formule:
1. vale la relazione:&nbsp; <img title="\mathbf{A}=\{A_i,\dots,A_n\}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\mathbf{A}=\{A_i,\dots,A_n\}">
2. vale la relazione:
<img title="\Omega=\bigcup_{i=1}^{n}A_i\qquad A_i\cap A_j=0\qquad i\neq j " src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Omega=\bigcup_{i=1}^{n}A_i\qquad&amp;space;A_i\cap&amp;space;A_j=0\qquad&amp;space;i\neq&amp;space;j&amp;space;">
3. vale la relazione &nbsp;<img title="I(A_1)=\dots=I(A_n)=a" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?I(A_1)=\dots=I(A_n)=a">
Cerchiamo ora di determinare il valore di a. Sappiamo che <img title="I(\Omega)=0" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?I(\Omega)=0">&nbsp; da cui otteniamo:
<img title="0=I(A_1)\oplus\dots\oplus I(A_n)=a\oplus\dots\oplus a=\bigoplus a" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?0=I(A_1)\oplus\dots\oplus&amp;space;I(A_n)=a\oplus\dots\oplus&amp;space;a=\bigoplus&amp;space;a">
sappiamo inoltre che questa equazione pu&ograve; essere valutata in due modi:
<img title="0=\bigoplus a=min\{a,\dots a\}=a\qquad se\;x\oplus y=min\{x,y\})" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?0=\bigoplus&amp;space;a=min\{a,\dots&amp;space;a\}=a\qquad&amp;space;se\;x\oplus&amp;space;y=min\{x,y\})">
da cui si deriva che a &egrave; nulla (quindi l'equazione non &egrave; particolarmente significativa).
Oppure si ha l'altra equazione:
<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" title="0=\bigoplus a=-k\cdot log_2(2^{-\frac{a}{k}}+\dots+2^{-\frac{a}{k}})\qquad se\;x\oplus y=-k\cdot log_2(2^{-\frac{x}{k}}+2^{-\frac{y}{k}})" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?0=\bigoplus&amp;space;a=-k\cdot&amp;space;log_2(2^{-\frac{a}{k}}+\dots+2^{-\frac{a}{k}})\qquad&amp;space;se\;x\oplus&amp;space;y=-k\cdot&amp;space;log_2(2^{-\frac{x}{k}}+2^{-\frac{y}{k}})">
Questa equazione pu&ograve; essere semplificata:
<img title="0=\bigoplus a=-k\cdot log_2(n\cdot 2^{-k\frac{a}{k}})=a-k\cdot log_2(n)" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?0=\bigoplus&amp;space;a=-k\cdot&amp;space;log_2(n\cdot&amp;space;2^{-k\frac{a}{k}})=a-k\cdot&amp;space;log_2(n)">
da cui si ricava l'importante relazione:
<img title="a=k\cdot log_2(n)=-k\cdot log_2(\frac{1}{n})" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?a=k\cdot&amp;space;log_2(n)=-k\cdot&amp;space;log_2(\frac{1}{n})">
che ci permette di affermare che a partire da una partizione <img title="\mathbf{A}=\{A_i,\dots,A_n\}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\mathbf{A}=\{A_i,\dots,A_n\}"> del sample space <img title="\Omega " src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\Omega&amp;space;"> l'informazione dell'evento <img title="A_i" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?A_i"> &egrave; data dall'equazione:
<img title="I(A_i)=-k\cdot log_2(\frac{1}{n})" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?I(A_i)=-k\cdot&amp;space;log_2(\frac{1}{n})">
Se inoltre abbiamo un evento A dato dall'unione di m eventi indipendenti:
&nbsp;<img title="A=A_{i_1}\cup\dots\cup A_{i_k}" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?A=A_{i_1}\cup\dots\cup&amp;space;A_{i_k}">&nbsp;
l'informazione ad esso associato sar&agrave;:
<img title="I(A)=-k\cdot log_2(\frac{m}{n})" src="https://latex.codecogs.com/svg.image?I(A)=-k\cdot&amp;space;log_2(\frac{m}{n})">