Vielbein - Relativity and other

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Calcolo della misura di probabilita nella tassonomia di Sundevall

In una nota precedente avevamo analizzato il contenuto di informazione semantica nella tassonomia di Sundevall, utilizzando i vincoli del dynamic frame per calcolare la distribuzione di probabilit&agrave;. Uno dei passaggi essenziali era stato quello di utilizzare la chain rule del calcolo delle probabilit&agrave;, che non &egrave;&nbsp;compatibile con la teoria della probabilit&agrave; logica proposto da Carnap; in questa nota vogliamo dimostrare che i vincoli del dynamic frame determinano delle equazioni che ci permettono di stabilire la corretta funzione di probabilit&agrave; per ogni stato dello spazio logico associato al dynamic frame.
Iniziamo con il riproporre alcune considerazioni che inquadrano il problema.
Abbiamo dunque un dynamic frame per il concetto 'bird' che presenta 4 attributi:
Bird = {beak:[...]; foot:[...]; plumage:[...]; tarsus:[...]}
dove&nbsp;i&nbsp;valori assunti dagli attribut sonoi:
Bird = {
beak:[round, pointed];
foot:[webbed, clawed];
plumage:[dense, coarse];
tarsus:[skinned, scutate]
}
Si ha dunque un dynamic frame composto da 4 attributi, ognuno dei quali pu&ograve; assumere 2 valori. Sono anche presenti alcuni vincoli fra&nbsp;gli attributi:
foot = clawed --&gt; tarsus = scutate + plumage = coarse
foot = webed --&gt; tarsus = skinned + plumage = dense
I medesimi vincoli si hanno scambiando fra loro i valori all'interno di uno stesso vincolo; cos&igrave; ad esempio vale:
tarsus = scutate --&gt;&nbsp;foot = clawed + plumage = coarse
i vincoli dunque sono simmetrici per scambio di attributo/valore.
Come abbiamo mostrato in alcune note precedenti un singolo attributo pu&ograve; essere descritto da un Linguaggio&nbsp;costituito da n predicati - equivalenti agli n valori assunti dall'attributo - e un'unica costante individuale (l'attributo stesso). Nel nostro caso abbiamo a che fare con 4 linguaggi&nbsp;<img title="L^2_1" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?L^2_1" />che portano ad avere un linguaggio&nbsp;<img title="L^8_4" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?L^8_4" />&nbsp;per&nbsp;l'intero dynamic frame. A questo linguaggio corrispondono&nbsp;<img title="2^{8\cdot 4}=2^{32}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?2^{8\cdot&amp;space;4}=2^{32}" />&nbsp;state-description, che creano lo spazio logico del dynamic frame.
Sappiamo inoltre che ogni attributo possiede&nbsp;una base costituita da quei particolari state-description in cui &egrave; valido un solo predicato e che prendono il nome di base-state-description.&nbsp;Si osservi che lo spazio associato ad ogni attributo ha in questo modo un vincolo 'logico' che determina la possibilit&agrave; degli state-description.&nbsp;Abbiamo anche visto come la combinazione dei base-state-description dei vari attributi porta a definire una base per l'intero dynamic frame.
Se consideriamo separatamente i 4 attributi abbiamo i seguenti state-descriptions, con la relativa misura di probabilit&agrave;:
<table style="height: 61px; width: 446px;">
<tbody>
<tr style="height: 13px;">
<td style="width: 36.427px; height: 13px; background-color: green; text-align: center;" colspan="4">beak</td>
</tr>
<tr style="height: 13px;">
<td style="width: 36.427px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">state</td>
<td style="width: 140.681px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">round</td>
<td style="width: 147.732px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">pointed</td>
<td style="width: 98.1175px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">m</td>
</tr>
<tr style="height: 13.5983px; text-align: center;">
<td style="width: 36.427px; height: 13.5983px;">b1</td>
<td style="width: 140.681px; height: 13.5983px;">true</td>
<td style="width: 147.732px; height: 13.5983px;">false</td>
<td style="width: 98.1175px; height: 13.5983px;">0.5</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 36.427px; height: 13px;">b2</td>
<td style="width: 140.681px; height: 13px;">false</td>
<td style="width: 147.732px; height: 13px;">true</td>
<td style="width: 98.1175px; height: 13px;">0.5</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 36.427px; height: 13px; background-color: green;" colspan="4">foot</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 36.427px; height: 13px; background-color: yellow;">state</td>
<td style="width: 140.681px; height: 13px; background-color: yellow;">webbed</td>
<td style="width: 147.732px; height: 13px; background-color: yellow;">clawed</td>
<td style="width: 98.1175px; height: 13px; background-color: yellow;">m</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 36.427px; height: 13px;">f1</td>
<td style="width: 140.681px; height: 13px;">true</td>
<td style="width: 147.732px; height: 13px;">false</td>
<td style="width: 98.1175px; height: 13px;">0.5</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 36.427px; height: 13px;">f2</td>
<td style="width: 140.681px; height: 13px;">false</td>
<td style="width: 147.732px; height: 13px;">true</td>
<td style="width: 98.1175px; height: 13px;">0.5</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 36.427px; height: 13px; background-color: green;" colspan="4">plumage</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 36.427px; height: 13px; background-color: yellow;">state</td>
<td style="width: 140.681px; height: 13px; background-color: yellow;">dense</td>
<td style="width: 147.732px; height: 13px; background-color: yellow;">coarse</td>
<td style="width: 98.1175px; height: 13px; background-color: yellow;">m</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 36.427px; height: 13px;">p1</td>
<td style="width: 140.681px; height: 13px;">true</td>
<td style="width: 147.732px; height: 13px;">false</td>
<td style="width: 98.1175px; height: 13px;">0.5</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 36.427px; height: 13px;">p2</td>
<td style="width: 140.681px; height: 13px;">false</td>
<td style="width: 147.732px; height: 13px;">true</td>
<td style="width: 98.1175px; height: 13px;">0.5</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 36.427px; height: 13px; background-color: green;" colspan="4">tarsus</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 36.427px; height: 13px; background-color: yellow;">state</td>
<td style="width: 140.681px; height: 13px; background-color: yellow;">skinned</td>
<td style="width: 147.732px; height: 13px; background-color: yellow;">scutate</td>
<td style="width: 98.1175px; height: 13px; background-color: yellow;">m</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 36.427px; height: 13px;">t1</td>
<td style="width: 140.681px; height: 13px;">true</td>
<td style="width: 147.732px; height: 13px;">false</td>
<td style="width: 98.1175px; height: 13px;">0.5</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 36.427px; height: 13px;">t2</td>
<td style="width: 140.681px; height: 13px;">false</td>
<td style="width: 147.732px; height: 13px;">true</td>
<td style="width: 98.1175px; height: 13px;">0.5</td>
</tr>
</tbody>
</table>
dove in verde sono indicati gli attributi, in giallo i predicati degli attributi (i valori) e la misura di probabilit&agrave; associata.
Se ora consideriamo la combinazione dei vari base-state-description per formare la base del dynamic frame otteniamo la tabella seguente:
<table style="height: 341px; width: 486px;">
<tbody>
<tr style="height: 13px;">
<td style="width: 79.404px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">state</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">combinazione di base-state-description</td>
<td style="width: 214px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">base-state-descriptions</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 79.404px; height: 13px;">s1</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13px;">b1 + f1 + p1 + t1</td>
<td style="width: 214px; height: 13px;">{B1.!B2.F1.!F2.P1.!P2.T1.!T2}</td>
</tr>
<tr style="height: 13.3224px; text-align: center;">
<td style="width: 79.404px; height: 13.3224px;">s2</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13.3224px;">b1 +&nbsp;f1 + p1 + t2</td>
<td style="width: 214px; height: 13.3224px;">{B1.!B2.F1.!F2.P1.!P2.!T1.T2}</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 79.404px; height: 13px;">s3</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13px;">b1 +&nbsp;f1 + p2 + t1</td>
<td style="width: 214px; height: 13px;">{B1.!B2.F1.!F2.!P1.P2.T1.!T2}</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 79.404px; height: 13px;">s4</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13px;">b1 +&nbsp;f1 + p2 + t2</td>
<td style="width: 214px; height: 13px;">{B1.!B2.F1.!F2.!P1.P2.!T1.T2}</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 79.404px; height: 13px;">s5</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13px;">b1 +&nbsp;f2 + p1 + t1</td>
<td style="width: 214px; height: 13px;">{B1.!B2.!F1.F2.P1.!P2.T1.!T2}</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 79.404px; height: 13px;">s6</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13px;">b1 +&nbsp;f2 + p1 + t2</td>
<td style="width: 214px; height: 13px;">{B1.!B2.!F1.F2.P1.!P2.!T1.T2}</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 79.404px; height: 13px;">s7</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13px;">b1 +&nbsp;f2 + p2 + t1</td>
<td style="width: 214px; height: 13px;">{B1.!B2.!F1.F2.!P1.P2.T1.!T2}</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 79.404px; height: 13px;">s8</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13px;">b1 +&nbsp;f2 + p2 + t2</td>
<td style="width: 214px; height: 13px;">{B1.!B2.!F1.F2.!P1.P2.!T1.T2}</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 79.404px; height: 13px;">s9</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13px;">b2 +&nbsp;f1 + p1 + t1</td>
<td style="width: 214px; height: 13px;">{!B1.B2.F1.!F2.P1.!P2.T1.!T2}</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 79.404px; height: 13px;">s10</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13px;">b2 +&nbsp;f1 + p1 + t2</td>
<td style="width: 214px; height: 13px;">{!B1.B2.F1.!F2.P1.!P2.!T1.T2}</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 79.404px; height: 13px;">s11</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13px;">b2 +&nbsp;f1 + p2 + t1</td>
<td style="width: 214px; height: 13px;">{!B1.B2.F1.!F2.!P1.P2.T1.!T2}</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 79.404px; height: 13px;">s12</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13px;">b2 +&nbsp;f1 + p2 + t2</td>
<td style="width: 214px; height: 13px;">{!B1.B2.F1.!F2.!P1.P2.!T1.T2}</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 79.404px; height: 13px;">s13</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13px;">b2 +&nbsp;f2 + p1 + t1</td>
<td style="width: 214px; height: 13px;">{!B1.B2.!F1.F2.P1.!P2.T1.!T2}</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 79.404px; height: 13px;">s14</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13px;">b2 +&nbsp;f2 + p1 + t2</td>
<td style="width: 214px; height: 13px;">{!B1.B2.!F1.F2.P1.!P2.!T1.T2}</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 79.404px; height: 13px;">s15</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13px;">b2 +&nbsp;f2 + p2 + t1</td>
<td style="width: 214px; height: 13px;">{!B1.B2.!F1.F2.!P1.P2.T1.!T2}</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 79.404px; height: 13px;">s16</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13px;">b2 +&nbsp;f2 + p2 + t2</td>
<td style="width: 214px; height: 13px;">{!B1.B2.!F1.F2.!P1.P2.!T1.T2}</td>
</tr>
</tbody>
</table>
dove il simbolo '.' sta ad indicare il connettivo logico 'and', mentre il simbolo '!' il connettivo logico 'not'. I valori assunti dagli attributi sono semplificati con le inziali e la numerazione, cos&igrave; ad esempio i valori assunti dall'attributo beack sono indicati come {B1,B2}.
Come si vede nella tabella sono presenti 16 combinazioni, ma non &egrave; indicata la misura di probabilit&agrave; per ogni stato. Il nostro compito &egrave; dunque quello di calcolare i vari m(si) utilizzando i vincoli imposti dal dynamic frame. Nella tassonomia di Sundevall tali vincoli coinvolgono solo gli attributi {foot, plumage, tarsus} = {f,p,t}, lasciando l'attributo beak (b) come variabile indipendente; questo ci permette di restringere lo spazio logico del dynamic frame ad un suo sottospazio che coinvolge solo i 3 attributi indicati ed alla tabella seguente, mantenendo fisso lo stato corrispondente a B = B1:
<table style="height: 341px; width: 486px;">
<tbody>
<tr style="height: 13px;">
<td style="width: 79.404px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">state</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">combinazione di base-state-description</td>
<td style="width: 214px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">base-state-descriptions</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 79.404px; height: 13px;">s1</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13px;">f1 + p1 + t1</td>
<td style="width: 214px; height: 13px;">{F1.!F2.P1.!P2.T1.!T2}</td>
</tr>
<tr style="height: 13.3224px; text-align: center;">
<td style="width: 79.404px; height: 13.3224px;">s2</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13.3224px;">f1 + p1 + t2</td>
<td style="width: 214px; height: 13.3224px;">{F1.!F2.P1.!P2.!T1.T2}</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 79.404px; height: 13px;">s3</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13px;">f1 + p2 + t1</td>
<td style="width: 214px; height: 13px;">{F1.!F2.!P1.P2.T1.!T2}</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 79.404px; height: 13px;">s4</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13px;">f1 + p2 + t2</td>
<td style="width: 214px; height: 13px;">{F1.!F2.!P1.P2.!T1.T2}</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 79.404px; height: 13px;">s5</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13px;">f2 + p1 + t1</td>
<td style="width: 214px; height: 13px;">{!F1.F2.P1.!P2.T1.!T2}</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 79.404px; height: 13px;">s6</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13px;">f2 + p1 + t2</td>
<td style="width: 214px; height: 13px;">{!F1.F2.P1.!P2.!T1.T2}</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 79.404px; height: 13px;">s7</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13px;">f2 + p2 + t1</td>
<td style="width: 214px; height: 13px;">{!F1.F2.!P1.P2.T1.!T2}</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 79.404px; height: 13px;">s8</td>
<td style="width: 174.596px; height: 13px;">f2 + p2 + t2</td>
<td style="width: 214px; height: 13px;">{!F1.F2.!P1.P2.!T1.T2}</td>
</tr>
</tbody>
</table>
Ricordiamo inoltre che nella teoria di Carnap la misura di probabilit&agrave; m(-) individua una funzione di conferma c(-,-) definita nel modo seguente:
<img title="C(h,e) = \frac{m(h.e)}{m(e)}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?C(h,e)&amp;space;=&amp;space;\frac{m(h.e)}{m(e)}" />
dove 'h' rappresenta un'ipotesi, mentre 'e' l'evidenza empirica che si ha a disposizione. Se consideriamo ora il vincolo, che a fronte di un valore di F=F1, necessariamente P=P1 e T=T1 si ha la condizione seguente:
<img title="C(P1.T1,F1) = \frac{m(P1.T1.F1)}{m(F1)} = 1.0" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?C(P1.T1,F1)&amp;space;=&amp;space;\frac{m(P1.T1.F1)}{m(F1)}&amp;space;=&amp;space;1.0" />
dove si &egrave; evitato di scrivere F=F1, P=P1 ... ma solo i valori assunti dall'attibuto. Se ora consideraimo gli stati 'si' in cui la condizione a denominatore e a numeratore sono verificate si giunge all'eqauzione:
<img title="\frac{m(s1)}{m(s1)+m(s2)+m(s3)+m(s4))} = 1.0" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{m(s1)}{m(s1)+m(s2)+m(s3)+m(s4))}&amp;space;=&amp;space;1.0" />
da cui si deduce:
<img title="m(s2)+m(s3)+m(s4) = 0" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?m(s2)+m(s3)+m(s4)&amp;space;=&amp;space;0" />
che vincola le funzioni di probabilit&agrave; di 3 stati.
Pi&ugrave; interessante &egrave; il caso in cui a fronte&nbsp;di una evidenza F=F1 l'ipotesi ad esempio che T=T2 &egrave; nulla; questa considerazione porta all'equazione:
<img title="C(T2,F1) = \frac{m(P2.F1)}{m(F1)} = 0.0\rightarrow m(P2.F1) = m(s3) + m(s4) =0.0" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?C(T2,F1)&amp;space;=&amp;space;\frac{m(P2.F1)}{m(F1)}&amp;space;=&amp;space;0.0\rightarrow&amp;space;m(P2.F1)&amp;space;=&amp;space;m(s3)&amp;space;+&amp;space;m(s4)&amp;space;=0.0" />
che stablisce una relazione fra gli stati s3&nbsp; e s4.
Una condizione ancora pi&ugrave; restrittiva &egrave; quando l'evidenza &egrave; costituita dalle condizioni F=F1 e P=P1 che impone T=T1 e non T=T2; in questo caso abbiamo:
<img title="C(T2,F1.P1) = \frac{m(T2.F1.P1)}{m(F1)} = 0.0\rightarrow m(T2.F1.P1) = m(s2) =0.0" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?C(T2,F1.P1)&amp;space;=&amp;space;\frac{m(T2.F1.P1)}{m(F1)}&amp;space;=&amp;space;0.0\rightarrow&amp;space;m(T2.F1.P1)&amp;space;=&amp;space;m(s2)&amp;space;=0.0" />
che determina in modo univoco la misura di probabilit&agrave; di s2.
Condizioni simili portano ad un valore nullo per la misura di probabilit&agrave; degli stati s3, s4, s5, s6 e s7.&nbsp;Gli unici stati che presentano una misura di probabilit&agrave; diversa da zero&nbsp;sono s1 ed s8.
Un medesimo ragionamento si pu&ograve; fare anche per l'altro sottospazio - corrispondente al valore B = B2. Al termine abbiamo che gli unici stati con misura di probabilit&agrave; diversa da zero sono s1, s8, s9 e s16 che ci porta alle condizioni m(s1) = m(s8) = m(s9) = m(s16= = 0.25.