Vielbein - Relativity and other

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Informazione semantica e vincoli fra Attributi di un Dynamic Frame

In questa nota vogliamo affrontare il problema di determinare la quantit&agrave; di informazione semantica&nbsp;imposta dai vincoli sui valori assunti dagli attributi di un dynamic frame, seguendo la&nbsp;teoria semantica di Bar-Hillel e Carnap, che abbiamo analizzato in alcune note precedenti.
Come esempio su cui applicare i nostri ragionamenti usiamo il dynamic frame della tassonomia di Ray, che qui ripropongo brevemente.
Il dynamic frame di un 'bird' &egrave; costituito da due attributi [beak, foot], ognuno dei quali pu&ograve; assumere due valori. Rappresentiamo tale frame nel modo seguente:
Bird = {beak:[round, pointed]; foot:[webbed, clawed]}
Il frame rappresenta il superordinate-concept 'bird' a cui corrispondono dei subordinate-concepts, a seconda di quale pattern di attivazione si considera. Nel caso della tassonomia di Ray i subordinate-concepts sono solo due, che andiamo qui di seguito ad elencare:
Water Bird = {beak:round; foot:webbed}
Land Bird = {beak:pointed, foot:clawed}
Nella tassonomia di Ray esiste un vincolo fra i valori assunti dall'attributo 'beak' e quelli assunti dall'attributo 'foot'; infatti ogni volta che beak = round si ha che il foot &egrave; webbed (la relazione &egrave; simmetrica).
Nelle note precedenti avevamo stabilito che un Attributo di un dynamic frame era equivalente ad un linguaggio&nbsp;definito su n predicati ed un'unica costante individuale:&nbsp;<img title="L_1^n" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?L_1^n" />.&nbsp;Ad esso corrispondeva uno spazio logico ed un insieme di state-description che rappresentavano un possibile stato di universo.
Dalle caratteristiche dell'attributo avevamo introdotto il concetto di base-state-description che erano quei particolari state-description in cui un solo predicato era verificato, e di qui la nozione di base di un attributo:&nbsp;
<img title="B_A=\left \{ w_i^b \right \}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?B_A=\left&amp;space;\{&amp;space;w_i^b&amp;space;\right&amp;space;\}" />
In seguito avevamo ottenuto la quantit&agrave; di informazione associata ad un attributo, utilizzando la formula seguente, ricavata dalla teoria semantica di&nbsp;Carnap:
<img title="est(A)=\sum_{i=1}^n m(w^b_i)\cdot inf(w^b_i)" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?est(A)=\sum_{i=1}^n&amp;space;m(w^b_i)\cdot&amp;space;inf(w^b_i)" />
dove 'm' &egrave; la misura di probabilit&agrave; definita sullo spazio logico.
Prendiamo ora in esame un secondo attributo G, a cui corrisponde un linguaggio&nbsp;<img title="L^k_1" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?L^k_1" />&nbsp;costituito da k predicati; ipotizziamo inoltre che esista un vincolo fra i valori assunti da G e quelli di A, in modo tale che ogni volta che si verifica Gi si verifichi sempre Ai.
Con questa ipotesi qualitativa cerchiamo di determinare la quantit&agrave; di informazione associata alla combinazione 'A.G' - dove '.' rappresenta l'operatore logico 'and'.
Come primo passo dobbiamo costruire il linguaggio associato all'unione dei due attributi (il linguaggio in sostanza del dynamic frame); se i due attributi hanno n e k predicati rispettivamente, il linguaggio sar&agrave; composto da p = n*k predicati e 2 costanti individuali (i due attributi):
<img title="L^{p=n\cdot k}_2" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?L^{p=n\cdot&amp;space;k}_2" />
a cui corrisponderanno&nbsp;<img title="2^{n\cdot k\cdot 2}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?2^{n\cdot&amp;space;k\cdot&amp;space;2}" />&nbsp;state-description. Di questi, i significativi sono solo quelli che uniscono gli elementi delle due basi e quindi saranno in tutto n*k. Possiamo dunque definire la base dell'unione dei due attributi (un dynamic frame) come:
<img title="B_{DF}=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^k w^b_i\cup z^b_j" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?B_{DF}=\sum_{i=1}^n&amp;space;\sum_{j=1}^k&amp;space;w^b_i\cup&amp;space;z^b_j" />
dove&nbsp;<img title="w^b_i" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?w^b_i" />&nbsp;e&nbsp;<img title="z^b_j" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?z^b_j" />&nbsp;sono gli elementi delle basi di A e G rispettivamente. In una forma pi&ugrave; condensata la base pu&ograve; essere espressa come:
<img title="B_{DF}=\left \{ y_{ij} \right \}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?B_{DF}=\left&amp;space;\{&amp;space;y_{ij}&amp;space;\right&amp;space;\}" />
dove&nbsp;<img title="y_{ij}=w_i\cup z_j" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?y_{ij}=w_i\cup&amp;space;z_j" />&nbsp;. Su questa base si potr&agrave; poi definire una misura di probabilit&agrave; tale per cui:
<img title="m_{DF}=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^k m_{DF}(y_{ij}^b)= 1" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?m_{DF}=\sum&amp;space;_{i=1}^n\sum&amp;space;_{j=1}^k&amp;space;m_{DF}(y_{ij}^b)=&amp;space;1" />
La nuova misura di probabilit&agrave; dovr&agrave; tenere in conto dei vincoli che esistono fra i due attributi. Per fare ci&ograve; ci vengono in soccorso le misure di probabilit&agrave; dei singoli attributi e la regola fondamentale del calcolo probabilistico, che qui riportiamo, adattandola al formalismo che stiamo utilizando.
&nbsp;<img title="m_{DF}( y^b_{ij})=m_{DF}(w^b_i \cup z^b_j)= p(w^b_i | z^b_j)\cdot m_G(z^b_j)" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?m_{DF}(&amp;space;y^b_{ij})=m_{DF}(w^b_i&amp;space;\cup&amp;space;z^b_j)=&amp;space;p(w^b_i&amp;space;|&amp;space;z^b_j)\cdot&amp;space;m_G(z^b_j)" />
dove&nbsp;<img title="p(w^b_i |z^b_j)" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?p(w^b_i&amp;space;|z^b_j)" />&nbsp;&egrave; la probabilit&agrave; condizionata che noto 'z' si ottenga 'w'. Nel caso dei vincoli associati ad un dynamic frame tale probabilit&agrave; &egrave; pari a 1 (in quanto sono vincoli deterministici). La formula precedente ci permette di determinare la&nbsp;misura di probabilit&agrave; sull'intera Base dell'unione dei due attributi del dynamic frame.
A questo punto &egrave; facile definire la stima della quantit&agrave; di informazione associata&nbsp;all'insieme di due attributi di un dynamic frame come:
<img title="est(inf, A.G)= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^k m_{DF}(y^b_{i,j})\cdot inf(y^b_{ij})" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?est(inf,&amp;space;A.G)=&amp;space;\sum_{i=1}^n&amp;space;\sum_{j=1}^k&amp;space;m_{DF}(y^b_{i,j})\cdot&amp;space;inf(y^b_{ij})" />
Prendiamo ora in esame l'esempio della tassonomia di Ray che vede il concetto di bird costituito da due attributi - 'beak' e 'foot' - ognuno dei quali pu&ograve; assumere 2 valori.&nbsp;Se consideriamo l'unione di questi due attributi avremo un linguaggio costituito da p = 2*2 = 4 predicati e due costanti individuali:
<img title="L(beak,foot)=L^4_2" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?L(beak,foot)=L^4_2" />
Parte dello spazio logico associato all'attributo 'beak' &egrave;
<table style="height: 61px; width: 446px;">
<tbody>
<tr style="height: 13px;">
<td style="width: 59px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">state</td>
<td style="width: 390.189px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">pointed</td>
<td style="width: 427.811px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">rounded</td>
<td style="width: 302px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">m</td>
</tr>
<tr style="height: 13.5983px; text-align: center;">
<td style="width: 59px; height: 13.5983px;">w1</td>
<td style="width: 390.189px; height: 13.5983px;">true</td>
<td style="width: 427.811px; height: 13.5983px;">false</td>
<td style="width: 302px; height: 13.5983px;">0.5</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 59px; height: 13px;">w2</td>
<td style="width: 390.189px; height: 13px;">false</td>
<td style="width: 427.811px; height: 13px;">true</td>
<td style="width: 302px; height: 13px;">0.5</td>
</tr>
</tbody>
</table>
dove sono indicati solo i base-state-description, che portano alla base:
<img title="B_{beak}=\left \{ w_1, w_2 \right \}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?B_{beak}=\left&amp;space;\{&amp;space;w_1,&amp;space;w_2&amp;space;\right&amp;space;\}" />
Nell'ultima colonna della tabella &egrave; anche indicata la misura di probabilit&agrave; associata ai due stati.
La medesima cosa vale per l'attributo 'foot', il cui spazio logico &egrave; in parte costituito dalla seguente tabella:
<table style="height: 61px; width: 446px;">
<tbody>
<tr style="height: 13px;">
<td style="width: 36.427px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">state</td>
<td style="width: 140.681px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">webbed</td>
<td style="width: 147.732px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">clawed</td>
<td style="width: 98.1175px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">m</td>
</tr>
<tr style="height: 13.5983px; text-align: center;">
<td style="width: 36.427px; height: 13.5983px;">z1</td>
<td style="width: 140.681px; height: 13.5983px;">true</td>
<td style="width: 147.732px; height: 13.5983px;">false</td>
<td style="width: 98.1175px; height: 13.5983px;">0.5</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 36.427px; height: 13px;">z2</td>
<td style="width: 140.681px; height: 13px;">false</td>
<td style="width: 147.732px; height: 13px;">true</td>
<td style="width: 98.1175px; height: 13px;">0.5</td>
</tr>
</tbody>
</table>
dove sono indicati solo i base-state-description, che portano alla base:
<img title="B_{foot}=\left \{ z_1, z_2 \right \}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?B_{foot}=\left&amp;space;\{&amp;space;z_1,&amp;space;z_2&amp;space;\right&amp;space;\}" />
Nell'ultima colonna della tabella &egrave; anche indicata la misura di probabilit&agrave; associata ai due stati.
Se ora consideriamo l'unione dei due attributi - che costituisce in sostanza un dynamic frama - avremo che lo spazio logico - nella sua parte essenziale - sar&agrave; costituito dalla combinazione dei 4 base-state-description:
<table style="height: 61px; width: 446px;">
<tbody>
<tr style="height: 13px;">
<td style="width: 36.427px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">state</td>
<td style="width: 140.681px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">combinazione di base-state-description</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 36.427px; height: 13px;">y11</td>
<td style="width: 140.681px; height: 13px;">w1 + z1</td>
</tr>
<tr style="height: 13.3224px; text-align: center;">
<td style="width: 36.427px; height: 13.3224px;">y12</td>
<td style="width: 140.681px; height: 13.3224px;">w1 + z2</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 36.427px; height: 13px;">y21</td>
<td style="width: 140.681px; height: 13px;">w2 + z1</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 36.427px; height: 13px;">y22</td>
<td style="width: 140.681px; height: 13px;">w2 + z2</td>
</tr>
</tbody>
</table>
La tabella precedente in sostanza costituisce la base dello spazio logico associato all'unione dei due attributi:
<img title="B_{beak,foot} = \left \{ y_{11}, y_{12}, y_{21}, y_{22} \right \}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?B_{beak,foot}&amp;space;=&amp;space;\left&amp;space;\{&amp;space;y_{11},&amp;space;y_{12},&amp;space;y_{21},&amp;space;y_{22}&amp;space;\right&amp;space;\}" />
Rimane infine da calcolare la misura di probabilit&agrave; per i vari stati, considerando la presenza dei vincoli esistenti fra i due attributi. Sappiamo che ogni volta che si verifica lo stato z1 (foot = webbed) si verifica anche lo stato w2 (beak = round); analogamente se consideriamo z2 (foot = clawed) si ha sempre w1 (beak = pointed). Tutto ci&ograve; in formule equivale a:
<img title="p(w_2 | z_1) = 1" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?p(w_2&amp;space;|&amp;space;z_1)&amp;space;=&amp;space;1" />
&nbsp;<img title="p(w_1 | z_2) = 1" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?p(w_1&amp;space;|&amp;space;z_2)&amp;space;=&amp;space;1" />
<img title="p(w_1 | z_1) = 0" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?p(w_1&amp;space;|&amp;space;z_1)&amp;space;=&amp;space;0" />
<img title="p(w_2 | z_2) = 0" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?p(w_2&amp;space;|&amp;space;z_2)&amp;space;=&amp;space;0" />
Con queste impostazioni abbiamo che la misura di probabilit&agrave; per ogni stato della base diviene:
<table style="height: 61px; width: 530.951px;">
<tbody>
<tr style="height: 13px;">
<td style="width: 36px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">state</td>
<td style="width: 295px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">combinazione di base-state-description</td>
<td style="width: 94.9515px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">m</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 36px; height: 13px;">y11</td>
<td style="width: 295px; height: 13px;">w1 + z1</td>
<td style="width: 94.9515px; height: 13px;">0.0</td>
</tr>
<tr style="height: 13.3224px; text-align: center;">
<td style="width: 36px; height: 13.3224px;">y12</td>
<td style="width: 295px; height: 13.3224px;">w1 + z2</td>
<td style="width: 94.9515px; height: 13.3224px;">0.5</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 36px; height: 13px;">y21</td>
<td style="width: 295px; height: 13px;">w2 + z1</td>
<td style="width: 94.9515px; height: 13px;">0.5</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 36px; height: 13px;">y22</td>
<td style="width: 295px; height: 13px;">w2 + z2</td>
<td style="width: 94.9515px; height: 13px;">0.0</td>
</tr>
</tbody>
</table>
Con la misura di probabilit&agrave;&nbsp;descritta nella tabella possiamo calcolare la quantit&agrave; di informazione per ogni base-state-description seguendo la formula:
<img title="inf(y^b_{ij}) = - Log(m(y^b_{ij}))" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?inf(y^b_{ij})&amp;space;=&amp;space;-&amp;space;Log(m(y^b_{ij}))" />
che porta ai risultati:
<table style="height: 61px; width: 530.951px;">
<tbody>
<tr style="height: 13px;">
<td style="width: 36px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">state</td>
<td style="width: 295px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">combinazione di base-state-description</td>
<td style="width: 94.9515px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">m</td>
<td style="width: 94.9515px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">inf</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 36px; height: 13px;">y11</td>
<td style="width: 295px; height: 13px;">w1 + z1</td>
<td style="width: 94.9515px; height: 13px;">0.0</td>
<td style="width: 94.9515px; height: 13px;">0.0</td>
</tr>
<tr style="height: 13.3224px; text-align: center;">
<td style="width: 36px; height: 13.3224px;">y12</td>
<td style="width: 295px; height: 13.3224px;">w1 + z2</td>
<td style="width: 94.9515px; height: 13.3224px;">0.5</td>
<td style="width: 94.9515px; height: 13.3224px;">1.0</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 36px; height: 13px;">y21</td>
<td style="width: 295px; height: 13px;">w2 + z1</td>
<td style="width: 94.9515px; height: 13px;">0.5</td>
<td style="width: 94.9515px; height: 13px;">1.0</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 36px; height: 13px;">y22</td>
<td style="width: 295px; height: 13px;">w2 + z2</td>
<td style="width: 94.9515px; height: 13px;">0.0</td>
<td style="width: 94.9515px; height: 13px;">0.0</td>
</tr>
</tbody>
</table>
dove il logaritmo &egrave; calcolato in base 2. E da qui si pu&ograve; determinare la quantit&agrave; di informazione contenuta nell'unione dei due attributi nel modo seguente:
<img title="est(inf, beak.foot) = m(y^b_{11})\cdot Log(y^b_{11}) + m(y^b_{12})\cdot Log(y^b_{12}) + + m(y^b_{21})\cdot Log(y^b_{21}) + + m(y^b_{22})\cdot Log(y^b_{22})" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?est(inf,&amp;space;beak.foot)&amp;space;=&amp;space;m(y^b_{11})\cdot&amp;space;Log(y^b_{11})&amp;space;+&amp;space;m(y^b_{12})\cdot&amp;space;Log(y^b_{12})&amp;space;+&amp;space;+&amp;space;m(y^b_{21})\cdot&amp;space;Log(y^b_{21})&amp;space;+&amp;space;+&amp;space;m(y^b_{22})\cdot&amp;space;Log(y^b_{22})" />
che porta a:
<img title="est(inf, beak.foot) = 0 + 0.5\cdot 1.0 + 0.5\cdot 1.0 + 0 = 1.0" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?est(inf,&amp;space;beak.foot)&amp;space;=&amp;space;0&amp;space;+&amp;space;0.5\cdot&amp;space;1.0&amp;space;+&amp;space;0.5\cdot&amp;space;1.0&amp;space;+&amp;space;0&amp;space;=&amp;space;1.0" />
Dal risultato ottenuto si deduce che la quantit&agrave; di informazione necessaria per determinare l'unione dei due attributi della tassonomia di Ray per il concetto 'bird' &egrave; pari a 1 bit - risultato che avevamo gi&agrave; ottenuto per altra via in una nota precedente.