Vielbein - Relativity and other

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Informazione semantica in un Attributo di un Dynamic Frame

In questa nota vogliamo affrontare il problema di determinare la quantit&agrave; di informazione semantica contenuta in un attributo di un dynamic frame, seguendo la&nbsp;teoria semantica di Bar-Hillel e Carnap, che abbiamo analizzato in alcune note precedenti.
Come esempio su cui applicare i nostri ragionamenti usiamo il dynamic frame della tassonomia di Ray, che qui ripropongo brevemente.
Il dynamic frame di un bird &egrave; costituito da due attributi [beak, foot], ognuno dei quali pu&ograve; assumere due valori. Rappresentiamo tale frame nel modo seguente:
Bird = {beak:[round, pointed]; foot:[webbed, clawed]}
Il frame rappresenta il superordinate-concept bird a cui corrispondono dei subordinate-concepts, a seconda di quale pattern di attivazione si considera. Nel caso della tassonomia di Ray i subordinate-concepts sono solo due, che andiamo qui di seguito ad elencare:
Water Bird = {beak:round; foot:webbed}
Land Bird = {beak:pointed, foot:clawed}
Consideriamo dunque un attributo A di un qualsiasi frame. Indichiamo con Ai i possibili valori di tale attributo con i = 1 .. n. Possiamo pensare ai valori Ai come i predicati monadici di un linguaggio L definito su n predicati ed un'unica costante individuale:&nbsp;<img title="L_1^n" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?L_1^n" />. In un linguaggio di tale fatta &egrave; possibile costruire&nbsp;<img title="2^{predicati\cdot costanti}=2^{2\cdot 1}=4" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?2^{predicati\cdot&amp;space;costanti}=2^{2\cdot&amp;space;1}=4" />&nbsp;state-description il cui insieme costituisce lo spazio logico del linguaggio. Lo spazio logico &egrave; quindi definito come:
<img title="S_A=\left \{ w_i \right \}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?S_A=\left&amp;space;\{&amp;space;w_i&amp;space;\right&amp;space;\}" />
dove&nbsp;<img title="w_i" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?w_i" />&nbsp;&egrave; l'i-esimo state-description.
Uno state-description descrive in maniera esaustiva un possibile stato di universo ed ognuno di essi dice il massimo che si pu&ograve; dire in un dato universo.
Sullo spazio logico &egrave; possibile costruire una misura di probabilit&agrave; m(-), che seguendo Carnap potrebbe essere m*, ma che noi definiremo diversamente (alcune considerazioni al riguardo verranno fatte in seguito).
Un aspetto importante da considerare dei dynamic frame &egrave; che un attributo pu&ograve; assumere - di volta in volta - un unico valore degli n permessi; per dare una definizione formale a questa considerazione introduciamo i base-state-description, che sono quei particolari state-description in cui solo un singolo valore (predicato) &egrave; istanziato.&nbsp;Nel caso di n valori avremo n base-state-description. Utilizziamo il nome base-state-description in quanto questi stati rappresentano una 'base' nello spazio logico dell'attributo. Formalmente si ha:
<img title="B_A=\left \{ w_i^b \right \}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?B_A=\left&amp;space;\{&amp;space;w_i^b&amp;space;\right&amp;space;\}" />
dove B &egrave; l'insieme dei base-state-description&nbsp;<img title="w_i^b" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?w_i^b" /> dell'attributo A.
Come misura di probabilit&agrave; <img title="m_A" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?m_A" />&nbsp;sull'attributo A, definiamo una misura che soddisfa i criteri di probabilit&agrave; solo sui base-state-description. Limitandoci all'ipotesi che la somma delle probabilit&agrave; sui base-state-description deve essere pari a 1 in formule si ha:
<img title="m_A(B_A)=\sum _{i=1}^n m_A(w_i^b)=1" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?m_A(B_A)=\sum&amp;space;_{i=1}^n&amp;space;m_A(w_i^b)=1" />
La misura di probabilit&agrave;&nbsp;<img title="m_A" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?m_A" />&nbsp;assegner&agrave; un valore nullo di probabilit&agrave; agli state-decription che non sono base-state-description.
Per fare un esempio, consideriamo il caso dell'attributo beak del dynamic frame bird. I valori assunti dall'attributo sono solo 2: A= {pointed, rounded}. Abbiamo dunque a che fare in questo caso con un linguaggio&nbsp;<img title="L_1^2" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?L_1^2" />&nbsp;i cui state-description sono:
<table style="height: 61px; width: 446px;">
<tbody>
<tr style="height: 13px;">
<td style="width: 59px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">state</td>
<td style="width: 390.189px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">pointed</td>
<td style="width: 427.811px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">rounded</td>
<td style="width: 302px; height: 13px; background-color: yellow; text-align: center;">m</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 59px; height: 13px;">w1</td>
<td style="width: 390.189px; height: 13px;">true</td>
<td style="width: 427.811px; height: 13px;">true</td>
<td style="width: 302px; height: 13px;">0</td>
</tr>
<tr style="height: 13.5983px; text-align: center;">
<td style="width: 59px; height: 13.5983px; background-color: green;">w2</td>
<td style="width: 390.189px; height: 13.5983px;">true</td>
<td style="width: 427.811px; height: 13.5983px;">false</td>
<td style="width: 302px; height: 13.5983px;">0.5</td>
</tr>
<tr style="height: 13px; text-align: center;">
<td style="width: 59px; height: 13px; background-color: green;">w3</td>
<td style="width: 390.189px; height: 13px;">false</td>
<td style="width: 427.811px; height: 13px;">true</td>
<td style="width: 302px; height: 13px;">0.5</td>
</tr>
<tr style="height: 13px;">
<td style="width: 59px; height: 13px; text-align: center;">w4</td>
<td style="width: 390.189px; height: 13px; text-align: center;">false</td>
<td style="width: 427.811px; height: 13px; text-align: center;">false</td>
<td style="width: 302px; height: 13px; text-align: center;">0</td>
</tr>
</tbody>
</table>
Nel nostro esempio abbiamo 4 state-description. Di questi per&ograve; solo w2 e w3 sono anche base-state-description, e dunque abbiamo:
<img title="B_{beak}=\left \{ w_2,w_3 \right \}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?B_{beak}=\left&amp;space;\{&amp;space;w_2,w_3&amp;space;\right&amp;space;\}" />
Su questa base possiamo costruire la nostra misura di probabilit&agrave; che associer&agrave; probabilit&agrave; 1/2 ai due base-state-description ed un valore di 0 agli altri due.
Nella teoria di Carnap si utilizza non solo la misura di probabilit&agrave; m(-), ma anche la funzione&nbsp;c(h, e) che determina il grado di conferma di un'ipotesi 'h' su un'evidenza 'e', definita nel modo seguente:
<img title="c(h,e)= \frac{m(e.h)}{m(e)}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?c(h,e)=&amp;space;\frac{m(e.h)}{m(e)}" />
dove l'ipotesi 'h' e l'evidenza 'e' sono scelti all'interno dello spazio logico (il simbolo '.' sta ad indicare l'operatore 'and' logico). Cos&igrave; ad esempio se consideriamo come evidenza empirica e = {pointed v rounded} -&nbsp;dove il simbolo 'v' &egrave; l'operatore 'or' logico - e come ipotesi h = !rounded, avremo che m(e) = 0 + 0.5 + 0.5 = 1.0, mentre m(e.h) = m(!rounded.(pointed v rounded)) = 0.5 (la condizione &egrave; valida solo in w2) e da qui il calcolo di c(h,e) = 0.5.
In generale Carnap attinge liberamente l'evidenza dallo spazio logico; nel caso degli attributi dei dynamic frame noi siamo in presenza di un'informazione massima attingibile dallo spazio logico, il che corrisponde a considerare come evidenza la disgiunzione di tutti i predicati:
<img title="e=A_i \vee ... \vee A_n" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?e=A_i&amp;space;\vee&amp;space;...&amp;space;\vee&amp;space;A_n" />
tale ipotesi&nbsp;porta ad avere m(e) = 1 ed inoltre c(h,e) = m(e.h) = m(h).
Veniamo ora a considerare l'informazione associata ad un attributo di un dynamic frame. Carnap introduce due tipologie di informazione: il contenuto di informazione semantica attribuito ad una proposizione 'i', definito come
<img title="cont(i) = 1 - m(i)" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?cont(i)&amp;space;=&amp;space;1&amp;space;-&amp;space;m(i)" />
e la quantit&agrave; di informazione semantica attribuita ad una proposizione 'i', definita come:
<img title="inf(i)= -Log(m(i))" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?inf(i)=&amp;space;-Log(m(i))" />
dove il logaritmo &egrave; considerato in base 2. Nel seguito di questa nota considereremo solo la seconda definizione, per la sua analogia con l'entropia di Shannon.
Se ora consideriamo lo spazio logico di un attributo A, possiamo definire facilmente la quantit&agrave; di informazione di uno state-description come:
<img title="inf(w_i)=-Log(m(w_i))" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?inf(w_i)=-Log(m(w_i))" />
Se consideriamo l'attributo beak, la quantit&agrave; di informazione semantica associata ad esempio allo state-description w2 (si noti che w2 &egrave; anche un base-state-description) &egrave; inf(w2) = -Log(0.5)= 1, cio&egrave; &egrave; necessario 1 bit di informazione per determinare lo stato w2.
Carnap introduce anche una stima della quantit&agrave; di informazione associata ad un'insieme di ipotesi H = (h1 .. hn) come:
<img title="est(H)=\sum _{i=1}^n m(h_i)inf(h_i)" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?est(H)=\sum&amp;space;_{i=1}^n&amp;space;m(h_i)inf(h_i)" />
dove abbiamo semplificato il caso impostando c(h,e) = m(h), come abbiamo indicato in precedenza. Questa definizione ci permette di calcolare la quantit&agrave; di informazione associata all'intero attributo di un dynamic frame, in quanto&nbsp;l'insieme delle ipotesi H nella formulazione di Carnap corrisponde all'insieme&nbsp;dei&nbsp;base-state-description <img title="w_i^b" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?w_i^b" />&nbsp; dell'attributo A; possiamo quindi formalizzare la quantit&agrave; di informazione di un attributo come:
&nbsp;<img title="est(A)=\sum_{i=1}^n m(w^b_i)\cdot inf(w^b_i)" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?est(A)=\sum_{i=1}^n&amp;space;m(w^b_i)\cdot&amp;space;inf(w^b_i)" />
Se prendiamo in esame il caso dell'attributo beak, avremo che la quantit&agrave; di informazione ad esso associata &egrave; est(beak) = m(w2)*inf(w2) + m(w3)*inf(w3) = 0.5*1 + 0.5*1 = 1.