Vielbein - Relativity and other

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Interpretazione logica della probabilita in Carnap

Questa nota nasce dalla lettura dell'articolo "Interpretation of probability" della Stanford Enciclopedia of Philosophy, e si limita solamente al contributo di Carnap.
Nel 1950 Carnap consider&ograve; una classe di semplici linguaggi formati da una serie finita di predicati monadici ("naming properties"), applicati ad un numero ugualmente finito di costanti individuali ("naming individual") attraverso gli usuali connettori logici.
Le proposizioni pi&ugrave; 'forti' che si possono costruire in un&nbsp; tale linguaggio sono costituite dalla congiunzione dell'applicazione dei predicati (negati o non negati) a tutte le costanti individuali in modo tale che ogni costante compaia una sola volta nella proposizione: tali predicati prendono il nome di 'state descriptions'. Ognuno di essi rappresenta un possibile 'mondo' associato all'insieme di predicati e costanti individuali.
Una misura di probabilit&agrave; m(-) sugli state descriptions si estende ad ogni tipo di predicato, in quanto ogni proposizione &egrave; equivalente ad una disgiunzione di state descriptions; m(-) inoltre induce una funzione di conferma c(-,-) definita nel modo seguente:
<img title="c(h,e)=\frac{m(h\wedge e)}{m(e)}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?c(h,e)=\frac{m(h\wedge&amp;space;e)}{m(e)}" />
dove h rappresenta un'ipotesi ed e la totalit&agrave; dell'evidenza empirica che si ha a disposizione.
E' possibile costruire infinite funzioni m(-) sugli state descriptions, ma Carnap considera come la pi&ugrave; significativa quella misura di probabliti&agrave; in cui l'ordine degli stati individuali non &egrave; significativo e la chiama m*.
Egli individua come 'structure description' l'insieme massimo di state descriptions, ognuno dei quali pu&ograve; essere ottenuto dal precedente con una semplice permutazione dei nomi individuali. m* assegna ad ogni description structure il medesimo valore, che a sua volta viene suddiviso equamente rispetto agli state description che lo compongono.
Per capire il senso di queste definizioni &egrave; opportuno fare un esempio.
Consideriamo un linguaggio che ha 3 nomi individuali (a,b,c) ed un unico predicato F. Per questo linguaggio gli state descriptions sono:
<table style="height: 175px; width: 540px;">
<tbody>
<tr>
<td style="width: 97.3456px; background-color: yellow; text-align: center;">State</td>
<td style="width: 429.622px; background-color: yellow; text-align: center;">State Description</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 97.3456px; text-align: center;">1</td>
<td style="width: 429.622px; text-align: center;"><img title="Fa\wedge Fb \wedge Fc" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?Fa\wedge&amp;space;Fb&amp;space;\wedge&amp;space;Fc" /></td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 97.3456px; text-align: center;">2</td>
<td style="width: 429.622px; text-align: center;"><img title="\neg Fa\wedge Fb \wedge Fc" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\neg&amp;space;Fa\wedge&amp;space;Fb&amp;space;\wedge&amp;space;Fc" /></td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 97.3456px; text-align: center;">3</td>
<td style="width: 429.622px; text-align: center;"><img title="Fa\wedge \neg Fb \wedge Fc" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?Fa\wedge&amp;space;\neg&amp;space;Fb&amp;space;\wedge&amp;space;Fc" /></td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 97.3456px; text-align: center;">4</td>
<td style="width: 429.622px; text-align: center;"><img title="Fa\wedge Fb \wedge \neg Fc" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?Fa\wedge&amp;space;Fb&amp;space;\wedge&amp;space;\neg&amp;space;Fc" /></td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 97.3456px; text-align: center;">5</td>
<td style="width: 429.622px; text-align: center;"><img title="\neg Fa\wedge \neg Fb \wedge Fc" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\neg&amp;space;Fa\wedge&amp;space;\neg&amp;space;Fb&amp;space;\wedge&amp;space;Fc" /></td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 97.3456px; text-align: center;">6</td>
<td style="width: 429.622px; text-align: center;"><img title="\neg Fa\wedge Fb \wedge \neg Fc" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\neg&amp;space;Fa\wedge&amp;space;Fb&amp;space;\wedge&amp;space;\neg&amp;space;Fc" /></td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 97.3456px; text-align: center;">7</td>
<td style="width: 429.622px; text-align: center;"><img title="Fa\wedge \neg Fb \wedge \neg Fc" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?Fa\wedge&amp;space;\neg&amp;space;Fb&amp;space;\wedge&amp;space;\neg&amp;space;Fc" /></td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 97.3456px; text-align: center;">8</td>
<td style="width: 429.622px; text-align: center;"><img title="\neg Fa\wedge \neg Fb \wedge \neg Fc" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\neg&amp;space;Fa\wedge&amp;space;\neg&amp;space;Fb&amp;space;\wedge&amp;space;\neg&amp;space;Fc" /></td>
</tr>
</tbody>
</table>
In questo spazio logico sono individuabili 4 structure description che sono:
<ul>
<li>{1} = "Ogni cosa &egrave; F"</li>
<li>{2,3,4} = "2Fs e 1 non F"</li>
<li>{5,6,7} = "2 non F e 1 F"</li>
<li>{8} = "Ogni cosa &egrave; non F"</li>
</ul>
La misura m* assegna lo stesso peso ad ogni structure descriptions; questo implica che - essendoci 4 strutture - il peso di ogni struttura &egrave; 1/4. Una volta definito il peso di ogni struttura, la probabilit&agrave; assegnata ad ogni state descriptions &egrave; data dal peso della struttura di appartenenza diviso per il numero di state descriptions che compongono quella struttura. Cos&igrave; ad esempio se consideriamo la struttura {2,3,4} che ha peso 1/4, lo state description&nbsp;2 ha probabilit&agrave; 1/12, cos&igrave; come pure gli altri state descriptions 3 e 4. La medesima cosa vale per la struttura {5,6,7} i cui elementi hanno probabilit&agrave; 1/12, mentre la struttura con un unico elemento - ad es. {1} - indicher&agrave; una probabilit&agrave; di 1/4 al suo state desxription costituente.
Proviamo ora ad analizzare un altro esempio semplice; consideriamo un linguaggio formato da due predicati (F e G) e da un'unico nome individuale a. Lo spazio logico costruito da questo linguaggio &egrave; rappresentato nella tabella seguente:
<table style="height: 102px; width: 540px;">
<tbody>
<tr>
<td style="width: 110.256px; background-color: yellow; text-align: center;">State</td>
<td style="width: 415.744px; background-color: yellow; text-align: center;">State Descriptions</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 110.256px; text-align: center;">1</td>
<td style="width: 415.744px; text-align: center;"><img title="Fa \wedge Ga" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?Fa&amp;space;\wedge&amp;space;Ga" /></td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 110.256px; text-align: center;">2</td>
<td style="width: 415.744px; text-align: center;"><img title="\neg Fa \wedge Ga" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\neg&amp;space;Fa&amp;space;\wedge&amp;space;Ga" /></td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 110.256px; text-align: center;">3</td>
<td style="width: 415.744px; text-align: center;"><img title="Fa \wedge \neg Ga" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?Fa&amp;space;\wedge&amp;space;\neg&amp;space;Ga" /></td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 110.256px; text-align: center;">4</td>
<td style="width: 415.744px; text-align: center;"><img title="\neg Fa \wedge \neg Ga" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\neg&amp;space;Fa&amp;space;\wedge&amp;space;\neg&amp;space;Ga" /></td>
</tr>
</tbody>
</table>
In questo caso&nbsp;sembra di individuare 3 structure description:
<ul>
<li>{1} = "a&nbsp;ha come proipriet&agrave; sia&nbsp;F&nbsp;che G"</li>
<li>{2,3} = "a ha come propriet&agrave; o F o G"</li>
<li>{4} = "a non ha come propriet&agrave; F e G"</li>
</ul>
Ma questa scelta risulta sbagliata in quanto gli stati 2 e 3 non si ottengono l'un l'altro con la permutazione dell'unico nome individuale a. Le strutture sono dunque 4:
<ul>
<li style="text-align: justify;">{1} = "a&nbsp;ha come proipriet&agrave; sia&nbsp;F&nbsp;che G"</li>
<li style="text-align: justify;">{2} = "a&nbsp;ha come proipriet&agrave; F&nbsp;ma non G"</li>
<li style="text-align: justify;">{3} = "a&nbsp;ha come proipriet&agrave;&nbsp;G&nbsp;ma non&nbsp;F"</li>
<li style="text-align: justify;">{4} = "a non ha come propriet&agrave; F e G"</li>
</ul>
Da queste strutture si deduce che m* impone il peso 1/4 ad ognuna di esse; questo induce una probabilit&agrave; di 1/4 allo state description 1, 2, 3 e 4.
Si noti che in entrambi i casi la somma di tutte le probabilit&agrave; degli state description &egrave; pari a 1.
Si noti inoltre che se l'evidenza sperimentale che si considera &egrave; l'intero spazio logico, cio&egrave; la congiunzione di tutti gli state description, il valore di m(e) = 1.