Vielbein - Relativity and other

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Considerazioni sul Linguaggio di una probabilita logica da assegnare ad un attributo di un Dynamic Frame

In questa nota vogliamo sviluppare alcune considerazioni sul linguaggio di una probabilit&agrave; logica da assegnare ad un attributo di un dynamic frame.
Come esempio su cui applicare i nostri ragionamenti usiamo il dynamic frame della tassonomia di Ray del bird, che qui ripropongo brevemente.
Il dynamic frame di un bird &egrave; costituito da due attributi [beak, foot], ognuno dei quali pu&ograve; assumere due valori. Rappresentiamo tale frame nel modo seguente:
Bird = {beak:[round, pointed]; foot:[webbed, clawed]}
Il frame rappresenta il superordinate-concept bird a cui corrispondono dei subordinate-concepts, a seconda di quale pattern di attivazione si considera. Nel caso della tassonomia di Ray i subordinate-concepts sono solo due, che andiamo qui di seguito ad elencare:
Water Bird = {beak:round; foot:webbed}
Land Bird = {beak:pointed, foot:clawed}
Inoltre&nbsp;esiste un vincolo che lega l'attributo beak con l'attributo foot, nel senso che quando si presenta il caso di un beak round si ha sempre un valore di foot webbed (stessa situazione si ha con gli altri valori).
La probabilit&agrave; logica ha la sua origine nell'opera di Carnap 'Logical Theory of Probability' del 1950, ma in questa nota utilizzeremo la presentazione&nbsp;della teoria effettuata da Suppes (2002).
E' necessario dunque partire con la definizione di un linguaggio. Secondo Suppes dobbiamo considerare solo quei linguaggi che soddisfano le seguenti propriet&agrave;:
<ol>
<li style="text-align: justify;">parentesi.</li>
<li style="text-align: justify;">connettori fra sentenze</li>
<li style="text-align: justify;">numero finito di predicati</li>
<li style="text-align: justify;">nomi individuali (si accetta la convenzione che i nomi individuali corrispondano ad individui distinti)</li>
<li style="text-align: justify;">variabili individuali che assumono valori sui nomi individuali.</li>
<li style="text-align: justify;">quantificatori logici che agiscono sulle variabili,</li>
<li style="text-align: justify;">identit&agrave;</li>
</ol>
Una nota importante &egrave; che considereremo solo predicati&nbsp;individuali (one-place predicate).
Possiamo dunque definire un linguaggio&nbsp;<img title="L_m^n" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?L_m^n" />&nbsp;come un insieme di m predicati individuali (one-place) su n nomi individuali che soddisfi le condizioni (1)..(7). Uno degli esempi pi&ugrave; semplice che si possa fare &egrave; quello di considerare un lingiaggio formato da un solo predicati&nbsp;<img title="P_1" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?P_1" />&nbsp;e da un unico nome x; in questo modo l'espressione&nbsp;<img title="P_1(x)" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?P_1(x)" />&nbsp;sta ad indicare che x possiede la propriet&agrave;&nbsp;<img title="P_1" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?P_1" />.&nbsp;
Possiamo ora dare la seguente definizione:
DEF: una proposizione s si dice atomica se &egrave; costituita da un predicato e da un nome individuale.
L'esempio che abbiamo appena fatta &egrave; anche un esempio di espressione atomica.
Vale inoltre la seguente ulteriore definizione:
DEF: una proposizione s &egrave; una descrizione di stato (state description) se e solo se &egrave; costituita dalla congiunzione di proposizioni atomiche o da loro negazioni cos&igrave; che in s ogni predicato seguito da un nome individuale compaia una sola volta.
Per fare un esempio consideriamo il linguaggio
&nbsp;<img title="L_2^3=\left \{ P_2=\left [ G,H \right ], N_3=\left [ a,b,c \right ]\right \}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?L_2^3=\left&amp;space;\{&amp;space;P_2=\left&amp;space;[&amp;space;G,H&amp;space;\right&amp;space;],&amp;space;N_3=\left&amp;space;[&amp;space;a,b,c&amp;space;\right&amp;space;]\right&amp;space;\}" />
costituito da due predicati e da 3 nomi individuali. In tale linguaggio una proposizione atomica &egrave; Ga che - come abbiamo visto - sta ad indicare che il nome a possiede la propriet&agrave; G. Un esempio di descrizione di stato nel linguaggio indicato &egrave; la seguente:
<img title="s_{desc}=Ga\wedge Gb\wedge \neg Gc \wedge \neg Ha\wedge Hb\wedge \neg Hc" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?s_{desc}=Ga\wedge&amp;space;Gb\wedge&amp;space;\neg&amp;space;Gc&amp;space;\wedge&amp;space;\neg&amp;space;Ha\wedge&amp;space;Hb\wedge&amp;space;\neg&amp;space;Hc" />
Come indica Suppes "... intuitively, each state description corresponds to a possible world; distinct state descriptions correpond to distinct possible worlds, or, in the language of standard probability theory, to distinct possiple outcomes."
E' chiaro che una proposizione qualunque in tale linguaggio potrebbe essere quella determinata da altro connettivo logico e senza coinvolgere tutti i nomi individuali o i predicati, come ad esempio:
<img title="s=Ga\vee Gb" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?s=Ga\vee&amp;space;Gb" />
E' importante ora definire in cosa consista il range di una proposizione:
DEF: il range di una proposizione s &egrave; l'insieme di descrizioni di stato (state descriptions) in cui essa &egrave; valida.
Per fare un esempio consideriamo&nbsp;il linguaggio seguente:
<img title="L_2^1=\left \{ P_2=\left [ G,H \right ], N_1=\left [ x \right ] \right \}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?L_2^1=\left&amp;space;\{&amp;space;P_2=\left&amp;space;[&amp;space;G,H&amp;space;\right&amp;space;],&amp;space;N_1=\left&amp;space;[&amp;space;x&amp;space;\right&amp;space;]&amp;space;\right&amp;space;\}" />
che ha due predicati ed un unico nome. Per questo linguaggio la descrizione degli stati sono le proposizioni seguenti:
<img title="s_1= Gx\wedge Hx" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?s_1=&amp;space;Gx\wedge&amp;space;Hx" />
<img title="s_2= Gx\wedge \neg Hx" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?s_2=&amp;space;Gx\wedge&amp;space;\neg&amp;space;Hx" />
<img title="s_3= \neg Gx\wedge Hx" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?s_3=&amp;space;\neg&amp;space;Gx\wedge&amp;space;Hx" />
<img title="s_4= \neg Gx\wedge \neg Hx" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?s_4=&amp;space;\neg&amp;space;Gx\wedge&amp;space;\neg&amp;space;Hx" />
Se ora consideriamo la proposizione&nbsp;<img title="s=Gx" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?s=Gx" />&nbsp;il range ad essa associato &egrave; l'insieme&nbsp;<img title="\left \{ s_1, s_2 \right \}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\left&amp;space;\{&amp;space;s_1,&amp;space;s_2&amp;space;\right&amp;space;\}" />.
Possiamo ora definire una misura regolare (nella terminologia di Carnap) su un linguaggio&nbsp;<img title="L__m^n" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?L__m^n" />&nbsp;- che equivale ad una densit&agrave; di probabilit&agrave; discreta - nel seguente modo:
DEF: una funzione m a variabili reali &egrave; una misura regolare se e solo se sono valide le seguenti condizioni:
<ul>
<li>il dominio di m &egrave; l'insieme delle possibili proposizioni&nbsp;di un linguaggio&nbsp;<img title="L__m^n" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?L__m^n" /></li>
<li>se s &egrave; una descrizione di stato allora&nbsp;</li>
</ul>
<img title="m(s)\geqslant 0" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?m(s)\geqslant&amp;space;0" />
<ul>
<li>se S &egrave; l'insieme delle descrizioni di stato di un linguaggio allora</li>
</ul>
<img title="\sum _{s\varepsilon S} m(s)=1" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum&amp;space;_{s\varepsilon&amp;space;S}&amp;space;m(s)=1" />
<ul>
<li>se la proposizione s ha un range pari all'insieme nullo, allora:</li>
</ul>
<img title="m(s)=0" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?m(s)=0" />
<ul>
<li style="text-align: justify;">se la proposizione s ha range non nullo allora:</li>
</ul>
<img title="m(s)= \sum _{t\varepsilon R(s)} m(t)" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?m(s)=&amp;space;\sum&amp;space;_{t\varepsilon&amp;space;R(s)}&amp;space;m(t)" />
dove R(s) &egrave; il range di s.
Veniamo ora a considerare in cosa consista un attributo di un dynamic frame. In termini di linguaggio un attributo &egrave; un insieme costituito da n predicati - quanti sono i valori che pu&ograve; assumere l'attributo - ed un unico nome individuale - l'attributo stesso.
Vale dunque la seguente definizione:
DEF: il linguaggio L di un attributo A che pu&ograve; assumere n valori V &egrave; definito dall'insieme:
<img title="L_n^A=\left \{ P_n=\left [ V_1\cdots V_n \right ], N_1=\left [ a \right ] \right \}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?L_n^A=\left&amp;space;\{&amp;space;P_n=\left&amp;space;[&amp;space;V_1\cdots&amp;space;V_n&amp;space;\right&amp;space;],&amp;space;N_1=\left&amp;space;[&amp;space;a&amp;space;\right&amp;space;]&amp;space;\right&amp;space;\}" />
Cos&igrave; ad esempio la proposizione&nbsp;<img title="V_1(a)" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?V_1(a)" />&nbsp;sta ad indicare che l'attributo a assume il valore&nbsp;<img title="V_1" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?V_1" />. Se consideriamo il caso dell'attributo beak del dynamic frame bird il linguaggio ad esso associato &egrave;:
<img title="L_2^{beak}=\left \{ P_2=\left [ beak\_round, beak\_pointed \right ], N_1=\left ( \left [ a \right ] \right ) \right \}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?L_2^{beak}=\left&amp;space;\{&amp;space;P_2=\left&amp;space;[&amp;space;beak\_round,&amp;space;beak\_pointed&amp;space;\right&amp;space;],&amp;space;N_1=\left&amp;space;(&amp;space;\left&amp;space;[&amp;space;a&amp;space;\right&amp;space;]&amp;space;\right&amp;space;)&amp;space;\right&amp;space;\}" />
e la proposizione&nbsp;<img title="beak\_pointed(a)" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?beak\_pointed(a)" />&nbsp;sta ad indicare che a ha il becco pointed.